Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119503 / 118417
↖ ↑ ↗
← S 80.935784°
E148.224792°		 ← 48.12 m → S 80.935784°
E148.227539°		 →
↑
48.16 m
↓
↑
48.16 m
↓
S 80.936218°
E148.224792°		 ← 48.11 m →
2 317 m²		 S 80.936218°
E148.227539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911739349365234 y=0.903453826904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911739349365234 × 217)
    floor (0.911739349365234 × 131072)
    floor (119503.5)     		tx = 119503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903453826904297 × 217)
    floor (0.903453826904297 × 131072)
    floor (118417.5)     		ty = 118417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119503 / 118417 ti = "17/119503/118417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119503/118417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119503 ÷ 217
    119503 ÷ 131072     		x = 0.911735534667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118417 ÷ 217
    118417 ÷ 131072     		y = 0.903450012207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911735534667969 × 2 - 1) × π
    0.823471069335938 × 3.1415926535     		Λ = 2.58701066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903450012207031 × 2 - 1) × π
    -0.806900024414062 × 3.1415926535     		Φ = -2.53495118880819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58701066} λ = 2.58701066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53495118880819))-π/2
    2×atan(0.0792655882181372)-π/2
    2×0.079100201800834-π/2
    0.158200403601668-1.57079632675     		φ = -1.41259592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58701066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.224792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41259592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.935784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119503 KachelY 118417 2.58701066 -1.41259592 148.224792 -80.935784
    Oben rechts KachelX + 1 119504 KachelY 118417 2.58705860 -1.41259592 148.227539 -80.935784
    Unten links KachelX 119503 KachelY + 1 118418 2.58701066 -1.41260348 148.224792 -80.936218
    Unten rechts KachelX + 1 119504 KachelY + 1 118418 2.58705860 -1.41260348 148.227539 -80.936218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41259592--1.41260348) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dl = 48.1647600001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41259592--1.41260348) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dr = 48.1647600001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58701066-2.58705860) × cos(-1.41259592) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.157541342083344 × 6371000     		do = 48.1171809868127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58701066-2.58705860) × cos(-1.41260348) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.157533876485154 × 6371000     		du = 48.114900800961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41259592)-sin(-1.41260348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157541342083344-0.157533876485154)×R²
    abs(2.58705860-2.58701066)×7.46559819000958e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.46559819000958e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.46559819000958e-06×40589641000000     		ar = 2317.49756174871m²