Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1195 / 916
↖ ↑ ↗
← N 18.646245°
E 30.058594°		 ← 18.520 km → N 18.646245°
E 30.234375°		 →
↑
18.529 km
↓
↑
18.529 km
↓
N 18.479609°
E 30.058594°		 ← 18.538 km →
343.327 km²		 N 18.479609°
E 30.234375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583740234375 y=0.447509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583740234375 × 211)
    floor (0.583740234375 × 2048)
    floor (1195.5)     		tx = 1195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447509765625 × 211)
    floor (0.447509765625 × 2048)
    floor (916.5)     		ty = 916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1195 / 916 ti = "11/1195/916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1195/916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1195 ÷ 211
    1195 ÷ 2048     		x = 0.58349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 916 ÷ 211
    916 ÷ 2048     		y = 0.447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58349609375 × 2 - 1) × π
    0.1669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52462143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447265625 × 2 - 1) × π
    0.10546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.331339850173828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52462143} λ = 0.52462143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.331339850173828))-π/2
    2×atan(1.39283306644223)-π/2
    2×0.948117348829763-π/2
    1.89623469765953-1.57079632675     		φ = 0.32543837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52462143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.058594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32543837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.646245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1195 KachelY 916 0.52462143 0.32543837 30.058594 18.646245
    Oben rechts KachelX + 1 1196 KachelY 916 0.52768939 0.32543837 30.234375 18.646245
    Unten links KachelX 1195 KachelY + 1 917 0.52462143 0.32253002 30.058594 18.479609
    Unten rechts KachelX + 1 1196 KachelY + 1 917 0.52768939 0.32253002 30.234375 18.479609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32543837-0.32253002) × R
    0.00290835 × 6371000     		dl = 18529.09785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32543837-0.32253002) × R
    0.00290835 × 6371000     		dr = 18529.09785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52462143-0.52768939) × cos(0.32543837) × R
    0.00306795999999998 × 0.94751065997265 × 6371000     		do = 18520.0179286392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52462143-0.52768939) × cos(0.32253002) × R
    0.00306795999999998 × 0.948436521214896 × 6371000     		du = 18538.11478763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32543837)-sin(0.32253002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94751065997265-0.948436521214896)×R²
    abs(0.52768939-0.52462143)×0.000925861242245585×R²
    0.00306795999999998×0.000925861242245585×6371000²
    0.00306795999999998×0.000925861242245585×40589641000000     		ar = 343327125.621752m²