Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119496 / 118345
↖ ↑ ↗
← S 80.904577°
E148.205566°		 ← 48.28 m → S 80.904577°
E148.208313°		 →
↑
48.29 m
↓
↑
48.29 m
↓
S 80.905011°
E148.205566°		 ← 48.28 m →
2 332 m²		 S 80.905011°
E148.208313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911685943603516 y=0.902904510498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911685943603516 × 217)
    floor (0.911685943603516 × 131072)
    floor (119496.5)     		tx = 119496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902904510498047 × 217)
    floor (0.902904510498047 × 131072)
    floor (118345.5)     		ty = 118345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119496 / 118345 ti = "17/119496/118345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119496/118345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119496 ÷ 217
    119496 ÷ 131072     		x = 0.91168212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118345 ÷ 217
    118345 ÷ 131072     		y = 0.902900695800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91168212890625 × 2 - 1) × π
    0.8233642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58667510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902900695800781 × 2 - 1) × π
    -0.805801391601562 × 3.1415926535     		Φ = -2.53149973203555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58667510} λ = 2.58667510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53149973203555))-π/2
    2×atan(0.0795396426408697)-π/2
    2×0.0793725391958136-π/2
    0.158745078391627-1.57079632675     		φ = -1.41205125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58667510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.205566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41205125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.904577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119496 KachelY 118345 2.58667510 -1.41205125 148.205566 -80.904577
    Oben rechts KachelX + 1 119497 KachelY 118345 2.58672304 -1.41205125 148.208313 -80.904577
    Unten links KachelX 119496 KachelY + 1 118346 2.58667510 -1.41205883 148.205566 -80.905011
    Unten rechts KachelX + 1 119497 KachelY + 1 118346 2.58672304 -1.41205883 148.208313 -80.905011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41205125--1.41205883) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dl = 48.2921800007521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41205125--1.41205883) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dr = 48.2921800007521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58667510-2.58672304) × cos(-1.41205125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158079187063093 × 6371000     		do = 48.2814526873121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58667510-2.58672304) × cos(-1.41205883) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158071702366151 × 6371000     		du = 48.2791666682099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41205125)-sin(-1.41205883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158079187063093-0.158071702366151)×R²
    abs(2.58672304-2.58667510)×7.48469694200615e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.48469694200615e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.48469694200615e-06×40589641000000     		ar = 2331.56140543057m²