Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11949 / 13778
↖ ↑ ↗
← N 27.508272°
W 48.724365°		 ← 1 083.53 m → N 27.508272°
W 48.713379°		 →
↑
1 083.58 m
↓
↑
1 083.58 m
↓
N 27.498527°
W 48.724365°		 ← 1 083.62 m →
1 174 139 m²		 N 27.498527°
W 48.713379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364669799804688 y=0.420486450195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364669799804688 × 215)
    floor (0.364669799804688 × 32768)
    floor (11949.5)     		tx = 11949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420486450195312 × 215)
    floor (0.420486450195312 × 32768)
    floor (13778.5)     		ty = 13778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11949 / 13778 ti = "15/11949/13778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11949/13778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11949 ÷ 215
    11949 ÷ 32768     		x = 0.364654541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13778 ÷ 215
    13778 ÷ 32768     		y = 0.42047119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364654541015625 × 2 - 1) × π
    -0.27069091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85040060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42047119140625 × 2 - 1) × π
    0.1590576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.499694241639465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85040060} λ = -0.85040060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499694241639465))-π/2
    2×atan(1.64821723744754)-π/2
    2×1.0254531172433-π/2
    2.0509062344866-1.57079632675     		φ = 0.48010991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85040060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.724365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48010991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.508272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11949 KachelY 13778 -0.85040060 0.48010991 -48.724365 27.508272
    Oben rechts KachelX + 1 11950 KachelY 13778 -0.85020885 0.48010991 -48.713379 27.508272
    Unten links KachelX 11949 KachelY + 1 13779 -0.85040060 0.47993983 -48.724365 27.498527
    Unten rechts KachelX + 1 11950 KachelY + 1 13779 -0.85020885 0.47993983 -48.713379 27.498527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48010991-0.47993983) × R
    0.000170079999999961 × 6371000     		dl = 1083.57967999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48010991-0.47993983) × R
    0.000170079999999961 × 6371000     		dr = 1083.57967999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85040060--0.85020885) × cos(0.48010991) × R
    0.000191749999999935 × 0.886944163272661 × 6371000     		do = 1083.52580241192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85040060--0.85020885) × cos(0.47993983) × R
    0.000191749999999935 × 0.887022706426609 × 6371000     		du = 1083.62175381161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48010991)-sin(0.47993983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886944163272661-0.887022706426609)×R²
    abs(-0.85020885--0.85040060)×7.85431539477299e-05×R²
    0.000191749999999935×7.85431539477299e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.85431539477299e-05×40589641000000     		ar = 1174138.53057277m²