Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11949 / 13765
↖ ↑ ↗
← N 27.634874°
W 48.724365°		 ← 1 082.28 m → N 27.634874°
W 48.713379°		 →
↑
1 082.31 m
↓
↑
1 082.31 m
↓
N 27.625141°
W 48.724365°		 ← 1 082.37 m →
1 171 406 m²		 N 27.625141°
W 48.713379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364669799804688 y=0.420089721679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364669799804688 × 215)
    floor (0.364669799804688 × 32768)
    floor (11949.5)     		tx = 11949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420089721679688 × 215)
    floor (0.420089721679688 × 32768)
    floor (13765.5)     		ty = 13765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11949 / 13765 ti = "15/11949/13765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11949/13765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11949 ÷ 215
    11949 ÷ 32768     		x = 0.364654541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13765 ÷ 215
    13765 ÷ 32768     		y = 0.420074462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364654541015625 × 2 - 1) × π
    -0.27069091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85040060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420074462890625 × 2 - 1) × π
    0.15985107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.502186960419708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85040060} λ = -0.85040060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.502186960419708))-π/2
    2×atan(1.65233090448671)-π/2
    2×1.0265579314071-π/2
    2.0531158628142-1.57079632675     		φ = 0.48231954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85040060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.724365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48231954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.634874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11949 KachelY 13765 -0.85040060 0.48231954 -48.724365 27.634874
    Oben rechts KachelX + 1 11950 KachelY 13765 -0.85020885 0.48231954 -48.713379 27.634874
    Unten links KachelX 11949 KachelY + 1 13766 -0.85040060 0.48214966 -48.724365 27.625141
    Unten rechts KachelX + 1 11950 KachelY + 1 13766 -0.85020885 0.48214966 -48.713379 27.625141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48231954-0.48214966) × R
    0.000169880000000011 × 6371000     		dl = 1082.30548000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48231954-0.48214966) × R
    0.000169880000000011 × 6371000     		dr = 1082.30548000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85040060--0.85020885) × cos(0.48231954) × R
    0.000191749999999935 × 0.88592142233777 × 6371000     		do = 1082.27638194328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85040060--0.85020885) × cos(0.48214966) × R
    0.000191749999999935 × 0.886000205903432 × 6371000     		du = 1082.37262703935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48231954)-sin(0.48214966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88592142233777-0.886000205903432)×R²
    abs(-0.85020885--0.85040060)×7.87835656617109e-05×R²
    0.000191749999999935×7.87835656617109e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.87835656617109e-05×40589641000000     		ar = 1171405.74516627m²