Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119488 / 117696
↖ ↑ ↗
← S 80.618424°
E148.183594°		 ← 49.79 m → S 80.618424°
E148.186341°		 →
↑
49.76 m
↓
↑
49.76 m
↓
S 80.618872°
E148.183594°		 ← 49.78 m →
2 477 m²		 S 80.618872°
E148.186341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911624908447266 y=0.897953033447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911624908447266 × 217)
    floor (0.911624908447266 × 131072)
    floor (119488.5)     		tx = 119488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.897953033447266 × 217)
    floor (0.897953033447266 × 131072)
    floor (117696.5)     		ty = 117696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119488 / 117696 ti = "17/119488/117696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119488/117696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119488 ÷ 217
    119488 ÷ 131072     		x = 0.91162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117696 ÷ 217
    117696 ÷ 131072     		y = 0.89794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91162109375 × 2 - 1) × π
    0.8232421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58629161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89794921875 × 2 - 1) × π
    -0.7958984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.50038868418213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58629161} λ = 2.58629161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50038868418213))-π/2
    2×atan(0.0820530996830521)-π/2
    2×0.0818696934009802-π/2
    0.16373938680196-1.57079632675     		φ = -1.40705694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58629161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.183594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40705694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.618424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119488 KachelY 117696 2.58629161 -1.40705694 148.183594 -80.618424
    Oben rechts KachelX + 1 119489 KachelY 117696 2.58633955 -1.40705694 148.186341 -80.618424
    Unten links KachelX 119488 KachelY + 1 117697 2.58629161 -1.40706475 148.183594 -80.618872
    Unten rechts KachelX + 1 119489 KachelY + 1 117697 2.58633955 -1.40706475 148.186341 -80.618872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40705694--1.40706475) × R
    7.8100000000525e-06 × 6371000     		dl = 49.7575100003345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40705694--1.40706475) × R
    7.8100000000525e-06 × 6371000     		dr = 49.7575100003345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58629161-2.58633955) × cos(-1.40705694) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163008708804902 × 6371000     		do = 49.787055513149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58629161-2.58633955) × cos(-1.40706475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163001003261569 × 6371000     		du = 49.7847020418744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40705694)-sin(-1.40706475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163008708804902-0.163001003261569)×R²
    abs(2.58633955-2.58629161)×7.70554333301421e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.70554333301421e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.70554333301421e-06×40589641000000     		ar = 2477.22136115778m²