Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119484 / 118300
↖ ↑ ↗
← S 80.885018°
E148.172607°		 ← 48.38 m → S 80.885018°
E148.175354°		 →
↑
48.42 m
↓
↑
48.42 m
↓
S 80.885453°
E148.172607°		 ← 48.38 m →
2 343 m²		 S 80.885453°
E148.175354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911594390869141 y=0.902561187744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911594390869141 × 217)
    floor (0.911594390869141 × 131072)
    floor (119484.5)     		tx = 119484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902561187744141 × 217)
    floor (0.902561187744141 × 131072)
    floor (118300.5)     		ty = 118300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119484 / 118300 ti = "17/119484/118300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119484/118300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119484 ÷ 217
    119484 ÷ 131072     		x = 0.911590576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118300 ÷ 217
    118300 ÷ 131072     		y = 0.902557373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911590576171875 × 2 - 1) × π
    0.82318115234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58609986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902557373046875 × 2 - 1) × π
    -0.80511474609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52934257155264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58609986} λ = 2.58609986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52934257155264))-π/2
    2×atan(0.0797114076104944)-π/2
    2×0.0795432219977888-π/2
    0.159086443995578-1.57079632675     		φ = -1.41170988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58609986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.172607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41170988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.885018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119484 KachelY 118300 2.58609986 -1.41170988 148.172607 -80.885018
    Oben rechts KachelX + 1 119485 KachelY 118300 2.58614780 -1.41170988 148.175354 -80.885018
    Unten links KachelX 119484 KachelY + 1 118301 2.58609986 -1.41171748 148.172607 -80.885453
    Unten rechts KachelX + 1 119485 KachelY + 1 118301 2.58614780 -1.41171748 148.175354 -80.885453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41170988--1.41171748) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dl = 48.4195999999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41170988--1.41171748) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dr = 48.4195999999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58609986-2.58614780) × cos(-1.41170988) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158416255608955 × 6371000     		do = 48.3844020973625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58609986-2.58614780) × cos(-1.41171748) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15840875157401 × 6371000     		du = 48.3821101719366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41170988)-sin(-1.41171748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158416255608955-0.15840875157401)×R²
    abs(2.58614780-2.58609986)×7.50403494459428e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.50403494459428e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.50403494459428e-06×40589641000000     		ar = 2342.69790882142m²