Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119482 / 118654
↖ ↑ ↗
← S 81.037761°
E148.167114°		 ← 47.57 m → S 81.037761°
E148.169861°		 →
↑
47.59 m
↓
↑
47.59 m
↓
S 81.038189°
E148.167114°		 ← 47.57 m →
2 264 m²		 S 81.038189°
E148.169861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911579132080078 y=0.905261993408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911579132080078 × 217)
    floor (0.911579132080078 × 131072)
    floor (119482.5)     		tx = 119482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905261993408203 × 217)
    floor (0.905261993408203 × 131072)
    floor (118654.5)     		ty = 118654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119482 / 118654 ti = "17/119482/118654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119482/118654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119482 ÷ 217
    119482 ÷ 131072     		x = 0.911575317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118654 ÷ 217
    118654 ÷ 131072     		y = 0.905258178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911575317382812 × 2 - 1) × π
    0.823150634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58600399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905258178710938 × 2 - 1) × π
    -0.810516357421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.54631223401814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58600399} λ = 2.58600399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54631223401814))-π/2
    2×atan(0.0783701445065152)-π/2
    2×0.0782102865287463-π/2
    0.156420573057493-1.57079632675     		φ = -1.41437575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58600399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.167114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41437575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.037761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119482 KachelY 118654 2.58600399 -1.41437575 148.167114 -81.037761
    Oben rechts KachelX + 1 119483 KachelY 118654 2.58605192 -1.41437575 148.169861 -81.037761
    Unten links KachelX 119482 KachelY + 1 118655 2.58600399 -1.41438322 148.167114 -81.038189
    Unten rechts KachelX + 1 119483 KachelY + 1 118655 2.58605192 -1.41438322 148.169861 -81.038189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41437575--1.41438322) × R
    7.46999999989839e-06 × 6371000     		dl = 47.5913699993527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41437575--1.41438322) × R
    7.46999999989839e-06 × 6371000     		dr = 47.5913699993527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58600399-2.58605192) × cos(-1.41437575) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155783489300323 × 6371000     		do = 47.570362533259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58600399-2.58605192) × cos(-1.41438322) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155776110495525 × 6371000     		du = 47.5681093264469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41437575)-sin(-1.41438322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155783489300323-0.155776110495525)×R²
    abs(2.58605192-2.58600399)×7.3788047980361e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.3788047980361e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.3788047980361e-06×40589641000000     		ar = 2263.88510782927m²