Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119481 / 118297
↖ ↑ ↗
← S 80.883713°
E148.164368°		 ← 48.39 m → S 80.883713°
E148.167114°		 →
↑
48.36 m
↓
↑
48.36 m
↓
S 80.884148°
E148.164368°		 ← 48.39 m →
2 340 m²		 S 80.884148°
E148.167114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911571502685547 y=0.902538299560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911571502685547 × 217)
    floor (0.911571502685547 × 131072)
    floor (119481.5)     		tx = 119481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902538299560547 × 217)
    floor (0.902538299560547 × 131072)
    floor (118297.5)     		ty = 118297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119481 / 118297 ti = "17/119481/118297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119481/118297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119481 ÷ 217
    119481 ÷ 131072     		x = 0.911567687988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118297 ÷ 217
    118297 ÷ 131072     		y = 0.902534484863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911567687988281 × 2 - 1) × π
    0.823135375976562 × 3.1415926535     		Λ = 2.58595605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902534484863281 × 2 - 1) × π
    -0.805068969726562 × 3.1415926535     		Φ = -2.52919876085378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58595605} λ = 2.58595605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52919876085378))-π/2
    2×atan(0.079722871788046)-π/2
    2×0.0795546137825715-π/2
    0.159109227565143-1.57079632675     		φ = -1.41168710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58595605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.164368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41168710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.883713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119481 KachelY 118297 2.58595605 -1.41168710 148.164368 -80.883713
    Oben rechts KachelX + 1 119482 KachelY 118297 2.58600399 -1.41168710 148.167114 -80.883713
    Unten links KachelX 119481 KachelY + 1 118298 2.58595605 -1.41169469 148.164368 -80.884148
    Unten rechts KachelX + 1 119482 KachelY + 1 118298 2.58600399 -1.41169469 148.167114 -80.884148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41168710--1.41169469) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dl = 48.3558900003649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41168710--1.41169469) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dr = 48.3558900003649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58595605-2.58600399) × cos(-1.41168710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15843874791151 × 6371000     		do = 48.3912718255147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58595605-2.58600399) × cos(-1.41169469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158431253777693 × 6371000     		du = 48.388982924148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41168710)-sin(-1.41169469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15843874791151-0.158431253777693)×R²
    abs(2.58600399-2.58595605)×7.4941338169543e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.4941338169543e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.4941338169543e-06×40589641000000     		ar = 2339.9476765463m²