Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119481 / 118214
↖ ↑ ↗
← S 80.847523°
E148.164368°		 ← 48.58 m → S 80.847523°
E148.167114°		 →
↑
48.55 m
↓
↑
48.55 m
↓
S 80.847960°
E148.164368°		 ← 48.58 m →
2 358 m²		 S 80.847960°
E148.167114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911571502685547 y=0.901905059814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911571502685547 × 217)
    floor (0.911571502685547 × 131072)
    floor (119481.5)     		tx = 119481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901905059814453 × 217)
    floor (0.901905059814453 × 131072)
    floor (118214.5)     		ty = 118214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119481 / 118214 ti = "17/119481/118214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119481/118214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119481 ÷ 217
    119481 ÷ 131072     		x = 0.911567687988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118214 ÷ 217
    118214 ÷ 131072     		y = 0.901901245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911567687988281 × 2 - 1) × π
    0.823135375976562 × 3.1415926535     		Λ = 2.58595605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901901245117188 × 2 - 1) × π
    -0.803802490234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52521999818532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58595605} λ = 2.58595605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52521999818532))-π/2
    2×atan(0.080040702040425)-π/2
    2×0.0798704287852834-π/2
    0.159740857570567-1.57079632675     		φ = -1.41105547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58595605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.164368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41105547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.847523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119481 KachelY 118214 2.58595605 -1.41105547 148.164368 -80.847523
    Oben rechts KachelX + 1 119482 KachelY 118214 2.58600399 -1.41105547 148.167114 -80.847523
    Unten links KachelX 119481 KachelY + 1 118215 2.58595605 -1.41106309 148.164368 -80.847960
    Unten rechts KachelX + 1 119482 KachelY + 1 118215 2.58600399 -1.41106309 148.167114 -80.847960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41105547--1.41106309) × R
    7.62000000009699e-06 × 6371000     		dl = 48.5470200006179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41105547--1.41106309) × R
    7.62000000009699e-06 × 6371000     		dr = 48.5470200006179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58595605-2.58600399) × cos(-1.41105547) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159062368025207 × 6371000     		do = 48.5817414602193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58595605-2.58600399) × cos(-1.41106309) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159054845034341 × 6371000     		du = 48.5794437451671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41105547)-sin(-1.41106309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159062368025207-0.159054845034341)×R²
    abs(2.58600399-2.58595605)×7.52299086576036e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.52299086576036e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.52299086576036e-06×40589641000000     		ar = 2358.44300071061m²