Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11948 / 20212
↖ ↑ ↗
← S 38.719805°
W 48.735352°		 ← 953.14 m → S 38.719805°
W 48.724365°		 →
↑
953.04 m
↓
↑
953.04 m
↓
S 38.728376°
W 48.735352°		 ← 953.03 m →
908 324 m²		 S 38.728376°
W 48.724365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364639282226562 y=0.616836547851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364639282226562 × 215)
    floor (0.364639282226562 × 32768)
    floor (11948.5)     		tx = 11948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616836547851562 × 215)
    floor (0.616836547851562 × 32768)
    floor (20212.5)     		ty = 20212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11948 / 20212 ti = "15/11948/20212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11948/20212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11948 ÷ 215
    11948 ÷ 32768     		x = 0.3646240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20212 ÷ 215
    20212 ÷ 32768     		y = 0.6168212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3646240234375 × 2 - 1) × π
    -0.270751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85059235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6168212890625 × 2 - 1) × π
    -0.233642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.7340098069823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85059235} λ = -0.85059235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.7340098069823))-π/2
    2×atan(0.479980497083215)-π/2
    2×0.44750412416142-π/2
    0.89500824832284-1.57079632675     		φ = -0.67578808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85059235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.735352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67578808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.719805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11948 KachelY 20212 -0.85059235 -0.67578808 -48.735352 -38.719805
    Oben rechts KachelX + 1 11949 KachelY 20212 -0.85040060 -0.67578808 -48.724365 -38.719805
    Unten links KachelX 11948 KachelY + 1 20213 -0.85059235 -0.67593767 -48.735352 -38.728376
    Unten rechts KachelX + 1 11949 KachelY + 1 20213 -0.85040060 -0.67593767 -48.724365 -38.728376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67578808--0.67593767) × R
    0.000149590000000033 × 6371000     		dl = 953.037890000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67578808--0.67593767) × R
    0.000149590000000033 × 6371000     		dr = 953.037890000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85059235--0.85040060) × cos(-0.67578808) × R
    0.000191750000000046 × 0.780214239669202 × 6371000     		do = 953.140338589033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85059235--0.85040060) × cos(-0.67593767) × R
    0.000191750000000046 × 0.780120660542813 × 6371000     		du = 953.026018655256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67578808)-sin(-0.67593767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780214239669202-0.780120660542813)×R²
    abs(-0.85040060--0.85059235)×9.35791263887431e-05×R²
    0.000191750000000046×9.35791263887431e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.35791263887431e-05×40589641000000     		ar = 908324.383241834m²