Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11948 / 13772
↖ ↑ ↗
← N 27.566721°
W 48.735352°		 ← 1 082.95 m → N 27.566721°
W 48.724365°		 →
↑
1 082.94 m
↓
↑
1 082.94 m
↓
N 27.556982°
W 48.735352°		 ← 1 083.05 m →
1 172 824 m²		 N 27.556982°
W 48.724365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364639282226562 y=0.420303344726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364639282226562 × 215)
    floor (0.364639282226562 × 32768)
    floor (11948.5)     		tx = 11948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420303344726562 × 215)
    floor (0.420303344726562 × 32768)
    floor (13772.5)     		ty = 13772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11948 / 13772 ti = "15/11948/13772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11948/13772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11948 ÷ 215
    11948 ÷ 32768     		x = 0.3646240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13772 ÷ 215
    13772 ÷ 32768     		y = 0.4202880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3646240234375 × 2 - 1) × π
    -0.270751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85059235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4202880859375 × 2 - 1) × π
    0.159423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.500844727230347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85059235} λ = -0.85059235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500844727230347))-π/2
    2×atan(1.65011457885256)-π/2
    2×1.02596318986147-π/2
    2.05192637972294-1.57079632675     		φ = 0.48113005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85059235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.735352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48113005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.566721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11948 KachelY 13772 -0.85059235 0.48113005 -48.735352 27.566721
    Oben rechts KachelX + 1 11949 KachelY 13772 -0.85040060 0.48113005 -48.724365 27.566721
    Unten links KachelX 11948 KachelY + 1 13773 -0.85059235 0.48096007 -48.735352 27.556982
    Unten rechts KachelX + 1 11949 KachelY + 1 13773 -0.85040060 0.48096007 -48.724365 27.556982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48113005-0.48096007) × R
    0.000169979999999958 × 6371000     		dl = 1082.94257999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48113005-0.48096007) × R
    0.000169979999999958 × 6371000     		dr = 1082.94257999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85059235--0.85040060) × cos(0.48113005) × R
    0.000191750000000046 × 0.886472522981064 × 6371000     		do = 1082.94962812045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85059235--0.85040060) × cos(0.48096007) × R
    0.000191750000000046 × 0.886551173727492 × 6371000     		du = 1083.04571095933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48113005)-sin(0.48096007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886472522981064-0.886551173727492)×R²
    abs(-0.85040060--0.85059235)×7.86507464280994e-05×R²
    0.000191750000000046×7.86507464280994e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.86507464280994e-05×40589641000000     		ar = 1172824.2932094m²