Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11948 / 12812
↖ ↑ ↗
← S 70.699951°
E 82.529297°		 ← 807.52 m → S 70.699951°
E 82.551269°		 →
↑
807.40 m
↓
↑
807.40 m
↓
S 70.707212°
E 82.529297°		 ← 807.23 m →
651 871 m²		 S 70.707212°
E 82.551269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.729278564453125 y=0.782012939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.729278564453125 × 214)
    floor (0.729278564453125 × 16384)
    floor (11948.5)     		tx = 11948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782012939453125 × 214)
    floor (0.782012939453125 × 16384)
    floor (12812.5)     		ty = 12812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11948 / 12812 ti = "14/11948/12812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11948/12812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11948 ÷ 214
    11948 ÷ 16384     		x = 0.729248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12812 ÷ 214
    12812 ÷ 16384     		y = 0.781982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.729248046875 × 2 - 1) × π
    0.45849609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.44040796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781982421875 × 2 - 1) × π
    -0.56396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77174780995728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.44040796} λ = 1.44040796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77174780995728))-π/2
    2×atan(0.170035539149962)-π/2
    2×0.168424697862142-π/2
    0.336849395724285-1.57079632675     		φ = -1.23394693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.44040796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 82.529297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23394693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.699951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11948 KachelY 12812 1.44040796 -1.23394693 82.529297 -70.699951
    Oben rechts KachelX + 1 11949 KachelY 12812 1.44079145 -1.23394693 82.551269 -70.699951
    Unten links KachelX 11948 KachelY + 1 12813 1.44040796 -1.23407366 82.529297 -70.707212
    Unten rechts KachelX + 1 11949 KachelY + 1 12813 1.44079145 -1.23407366 82.551269 -70.707212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23394693--1.23407366) × R
    0.000126729999999853 × 6371000     		dl = 807.396829999062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23394693--1.23407366) × R
    0.000126729999999853 × 6371000     		dr = 807.396829999062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.44040796-1.44079145) × cos(-1.23394693) × R
    0.000383490000000153 × 0.330515196038713 × 6371000     		do = 807.519615281854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.44040796-1.44079145) × cos(-1.23407366) × R
    0.000383490000000153 × 0.330395585525972 × 6371000     		du = 807.227381108087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23394693)-sin(-1.23407366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330515196038713-0.330395585525972)×R²
    abs(1.44079145-1.44040796)×0.000119610512740509×R²
    0.000383490000000153×0.000119610512740509×6371000²
    0.000383490000000153×0.000119610512740509×40589641000000     		ar = 651870.8039409m²