Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119478 / 118406
↖ ↑ ↗
← S 80.931024°
E148.156128°		 ← 48.14 m → S 80.931024°
E148.158875°		 →
↑
48.10 m
↓
↑
48.10 m
↓
S 80.931456°
E148.156128°		 ← 48.14 m →
2 316 m²		 S 80.931456°
E148.158875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911548614501953 y=0.903369903564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911548614501953 × 217)
    floor (0.911548614501953 × 131072)
    floor (119478.5)     		tx = 119478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903369903564453 × 217)
    floor (0.903369903564453 × 131072)
    floor (118406.5)     		ty = 118406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119478 / 118406 ti = "17/119478/118406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119478/118406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119478 ÷ 217
    119478 ÷ 131072     		x = 0.911544799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118406 ÷ 217
    118406 ÷ 131072     		y = 0.903366088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911544799804688 × 2 - 1) × π
    0.823089599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58581224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903366088867188 × 2 - 1) × π
    -0.806732177734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53442388291237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58581224} λ = 2.58581224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53442388291237))-π/2
    2×atan(0.0793073964520357)-π/2
    2×0.0791417488554882-π/2
    0.158283497710976-1.57079632675     		φ = -1.41251283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58581224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.156128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41251283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.931024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119478 KachelY 118406 2.58581224 -1.41251283 148.156128 -80.931024
    Oben rechts KachelX + 1 119479 KachelY 118406 2.58586018 -1.41251283 148.158875 -80.931024
    Unten links KachelX 119478 KachelY + 1 118407 2.58581224 -1.41252038 148.156128 -80.931456
    Unten rechts KachelX + 1 119479 KachelY + 1 118407 2.58586018 -1.41252038 148.158875 -80.931456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41251283--1.41252038) × R
    7.54999999985628e-06 × 6371000     		dl = 48.1010499990844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41251283--1.41252038) × R
    7.54999999985628e-06 × 6371000     		dr = 48.1010499990844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58581224-2.58586018) × cos(-1.41251283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157623393944122 × 6371000     		do = 48.1422417366635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58581224-2.58586018) × cos(-1.41252038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157615938319922 × 6371000     		du = 48.1399645971249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41251283)-sin(-1.41252038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157623393944122-0.157615938319922)×R²
    abs(2.58586018-2.58581224)×7.45562420029211e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.45562420029211e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.45562420029211e-06×40589641000000     		ar = 2315.63761051999m²