Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119477 / 118358
↖ ↑ ↗
← S 80.910220°
E148.153381°		 ← 48.25 m → S 80.910220°
E148.156128°		 →
↑
48.23 m
↓
↑
48.23 m
↓
S 80.910653°
E148.153381°		 ← 48.25 m →
2 327 m²		 S 80.910653°
E148.156128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911540985107422 y=0.903003692626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911540985107422 × 217)
    floor (0.911540985107422 × 131072)
    floor (119477.5)     		tx = 119477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903003692626953 × 217)
    floor (0.903003692626953 × 131072)
    floor (118358.5)     		ty = 118358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119477 / 118358 ti = "17/119477/118358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119477/118358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119477 ÷ 217
    119477 ÷ 131072     		x = 0.911537170410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118358 ÷ 217
    118358 ÷ 131072     		y = 0.902999877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911537170410156 × 2 - 1) × π
    0.823074340820312 × 3.1415926535     		Λ = 2.58576430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902999877929688 × 2 - 1) × π
    -0.805999755859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53212291173061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58576430} λ = 2.58576430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53212291173061))-π/2
    2×atan(0.0794900905921425)-π/2
    2×0.0793232984771539-π/2
    0.158646596954308-1.57079632675     		φ = -1.41214973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58576430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.153381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41214973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.910220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119477 KachelY 118358 2.58576430 -1.41214973 148.153381 -80.910220
    Oben rechts KachelX + 1 119478 KachelY 118358 2.58581224 -1.41214973 148.156128 -80.910220
    Unten links KachelX 119477 KachelY + 1 118359 2.58576430 -1.41215730 148.153381 -80.910653
    Unten rechts KachelX + 1 119478 KachelY + 1 118359 2.58581224 -1.41215730 148.156128 -80.910653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41214973--1.41215730) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dl = 48.2284699997246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41214973--1.41215730) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dr = 48.2284699997246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58576430-2.58581224) × cos(-1.41214973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157981944541078 × 6371000     		do = 48.251752318066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58576430-2.58581224) × cos(-1.41215730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157974469600604 × 6371000     		du = 48.2494692788405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41214973)-sin(-1.41215730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157981944541078-0.157974469600604)×R²
    abs(2.58581224-2.58576430)×7.47494047348418e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.47494047348418e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.47494047348418e-06×40589641000000     		ar = 2327.05313522732m²