Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119476 / 118260
↖ ↑ ↗
← S 80.867598°
E148.150635°		 ← 48.47 m → S 80.867598°
E148.153381°		 →
↑
48.42 m
↓
↑
48.42 m
↓
S 80.868033°
E148.150635°		 ← 48.46 m →
2 347 m²		 S 80.868033°
E148.153381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911533355712891 y=0.902256011962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911533355712891 × 217)
    floor (0.911533355712891 × 131072)
    floor (119476.5)     		tx = 119476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902256011962891 × 217)
    floor (0.902256011962891 × 131072)
    floor (118260.5)     		ty = 118260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119476 / 118260 ti = "17/119476/118260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119476/118260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119476 ÷ 217
    119476 ÷ 131072     		x = 0.911529541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118260 ÷ 217
    118260 ÷ 131072     		y = 0.902252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911529541015625 × 2 - 1) × π
    0.82305908203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58571637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902252197265625 × 2 - 1) × π
    -0.80450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52742509556784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58571637} λ = 2.58571637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52742509556784))-π/2
    2×atan(0.0798643989520385)-π/2
    2×0.0796952455405227-π/2
    0.159390491081045-1.57079632675     		φ = -1.41140584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58571637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.150635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41140584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.867598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119476 KachelY 118260 2.58571637 -1.41140584 148.150635 -80.867598
    Oben rechts KachelX + 1 119477 KachelY 118260 2.58576430 -1.41140584 148.153381 -80.867598
    Unten links KachelX 119476 KachelY + 1 118261 2.58571637 -1.41141344 148.150635 -80.868033
    Unten rechts KachelX + 1 119477 KachelY + 1 118261 2.58576430 -1.41141344 148.153381 -80.868033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41140584--1.41141344) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dl = 48.4195999999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41140584--1.41141344) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dr = 48.4195999999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58571637-2.58576430) × cos(-1.41140584) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158716448991986 × 6371000     		do = 48.465977058614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58571637-2.58576430) × cos(-1.41141344) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158708945323433 × 6371000     		du = 48.4636857231521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41140584)-sin(-1.41141344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158716448991986-0.158708945323433)×R²
    abs(2.58576430-2.58571637)×7.50366855337137e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.50366855337137e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.50366855337137e-06×40589641000000     		ar = 2346.64775013666m²