Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119474 / 118386
↖ ↑ ↗
← S 80.922361°
E148.145142°		 ← 48.19 m → S 80.922361°
E148.147888°		 →
↑
48.16 m
↓
↑
48.16 m
↓
S 80.922794°
E148.145142°		 ← 48.19 m →
2 321 m²		 S 80.922794°
E148.147888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911518096923828 y=0.903217315673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911518096923828 × 217)
    floor (0.911518096923828 × 131072)
    floor (119474.5)     		tx = 119474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903217315673828 × 217)
    floor (0.903217315673828 × 131072)
    floor (118386.5)     		ty = 118386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119474 / 118386 ti = "17/119474/118386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119474/118386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119474 ÷ 217
    119474 ÷ 131072     		x = 0.911514282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118386 ÷ 217
    118386 ÷ 131072     		y = 0.903213500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911514282226562 × 2 - 1) × π
    0.823028564453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58562049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903213500976562 × 2 - 1) × π
    -0.806427001953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53346514491997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58562049} λ = 2.58562049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53346514491997))-π/2
    2×atan(0.0793834679265721)-π/2
    2×0.0792173444032796-π/2
    0.158434688806559-1.57079632675     		φ = -1.41236164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58562049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.145142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41236164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.922361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119474 KachelY 118386 2.58562049 -1.41236164 148.145142 -80.922361
    Oben rechts KachelX + 1 119475 KachelY 118386 2.58566843 -1.41236164 148.147888 -80.922361
    Unten links KachelX 119474 KachelY + 1 118387 2.58562049 -1.41236920 148.145142 -80.922794
    Unten rechts KachelX + 1 119475 KachelY + 1 118387 2.58566843 -1.41236920 148.147888 -80.922794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41236164--1.41236920) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dl = 48.1647600001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41236164--1.41236920) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dr = 48.1647600001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58562049-2.58566843) × cos(-1.41236164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157772692161071 × 6371000     		do = 48.1878412550556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58562049-2.58566843) × cos(-1.41236920) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157765226842109 × 6371000     		du = 48.1855611544875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41236164)-sin(-1.41236920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157772692161071-0.157765226842109)×R²
    abs(2.58566843-2.58562049)×7.46531896134162e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.46531896134162e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.46531896134162e-06×40589641000000     		ar = 2320.9008988067m²