Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119471 / 118798
↖ ↑ ↗
← S 81.099166°
E148.136902°		 ← 47.26 m → S 81.099166°
E148.139649°		 →
↑
47.21 m
↓
↑
47.21 m
↓
S 81.099590°
E148.136902°		 ← 47.25 m →
2 231 m²		 S 81.099590°
E148.139649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911495208740234 y=0.906360626220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911495208740234 × 217)
    floor (0.911495208740234 × 131072)
    floor (119471.5)     		tx = 119471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906360626220703 × 217)
    floor (0.906360626220703 × 131072)
    floor (118798.5)     		ty = 118798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119471 / 118798 ti = "17/119471/118798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119471/118798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119471 ÷ 217
    119471 ÷ 131072     		x = 0.911491394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118798 ÷ 217
    118798 ÷ 131072     		y = 0.906356811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911491394042969 × 2 - 1) × π
    0.822982788085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.58547668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906356811523438 × 2 - 1) × π
    -0.812713623046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.55321514756343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58547668} λ = 2.58547668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55321514756343))-π/2
    2×atan(0.0778310250626721)-π/2
    2×0.0776744356280263-π/2
    0.155348871256053-1.57079632675     		φ = -1.41544746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58547668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.136902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41544746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.099166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119471 KachelY 118798 2.58547668 -1.41544746 148.136902 -81.099166
    Oben rechts KachelX + 1 119472 KachelY 118798 2.58552462 -1.41544746 148.139649 -81.099166
    Unten links KachelX 119471 KachelY + 1 118799 2.58547668 -1.41545487 148.136902 -81.099590
    Unten rechts KachelX + 1 119472 KachelY + 1 118799 2.58552462 -1.41545487 148.139649 -81.099590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41544746--1.41545487) × R
    7.41000000004099e-06 × 6371000     		dl = 47.2091100002612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41544746--1.41545487) × R
    7.41000000004099e-06 × 6371000     		dr = 47.2091100002612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58547668-2.58552462) × cos(-1.41544746) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154724774305564 × 6371000     		do = 47.2569286885789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58547668-2.58552462) × cos(-1.41545487) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154717453535407 × 6371000     		du = 47.2546927369364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41544746)-sin(-1.41545487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154724774305564-0.154717453535407)×R²
    abs(2.58552462-2.58547668)×7.32077015688781e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.32077015688781e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.32077015688781e-06×40589641000000     		ar = 2230.90476612097m²