Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11947 / 20211
↖ ↑ ↗
← S 38.711233°
W 48.746338°		 ← 953.20 m → S 38.711233°
W 48.735352°		 →
↑
953.17 m
↓
↑
953.17 m
↓
S 38.719805°
W 48.746338°		 ← 953.09 m →
908 507 m²		 S 38.719805°
W 48.735352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364608764648438 y=0.616806030273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364608764648438 × 215)
    floor (0.364608764648438 × 32768)
    floor (11947.5)     		tx = 11947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616806030273438 × 215)
    floor (0.616806030273438 × 32768)
    floor (20211.5)     		ty = 20211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11947 / 20211 ti = "15/11947/20211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11947/20211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11947 ÷ 215
    11947 ÷ 32768     		x = 0.364593505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20211 ÷ 215
    20211 ÷ 32768     		y = 0.616790771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364593505859375 × 2 - 1) × π
    -0.27081298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85078409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616790771484375 × 2 - 1) × π
    -0.23358154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.73381805938382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85078409} λ = -0.85078409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.73381805938382))-π/2
    2×atan(0.480072541015168)-π/2
    2×0.447578930750691-π/2
    0.895157861501382-1.57079632675     		φ = -0.67563847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85078409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.746338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67563847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.711233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11947 KachelY 20211 -0.85078409 -0.67563847 -48.746338 -38.711233
    Oben rechts KachelX + 1 11948 KachelY 20211 -0.85059235 -0.67563847 -48.735352 -38.711233
    Unten links KachelX 11947 KachelY + 1 20212 -0.85078409 -0.67578808 -48.746338 -38.719805
    Unten rechts KachelX + 1 11948 KachelY + 1 20212 -0.85059235 -0.67578808 -48.735352 -38.719805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67563847--0.67578808) × R
    0.000149610000000022 × 6371000     		dl = 953.165310000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67563847--0.67578808) × R
    0.000149610000000022 × 6371000     		dr = 953.165310000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85078409--0.85059235) × cos(-0.67563847) × R
    0.000191739999999996 × 0.780307813844519 × 6371000     		do = 953.204939063317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85078409--0.85059235) × cos(-0.67578808) × R
    0.000191739999999996 × 0.780214239669202 × 6371000     		du = 953.090631139574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67563847)-sin(-0.67578808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780307813844519-0.780214239669202)×R²
    abs(-0.85059235--0.85078409)×9.35741753167463e-05×R²
    0.000191739999999996×9.35741753167463e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.35741753167463e-05×40589641000000     		ar = 908507.405757227m²