Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119468 / 118316
↖ ↑ ↗
← S 80.891977°
E148.128662°		 ← 48.35 m → S 80.891977°
E148.131409°		 →
↑
48.36 m
↓
↑
48.36 m
↓
S 80.892412°
E148.128662°		 ← 48.35 m →
2 338 m²		 S 80.892412°
E148.131409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911472320556641 y=0.902683258056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911472320556641 × 217)
    floor (0.911472320556641 × 131072)
    floor (119468.5)     		tx = 119468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902683258056641 × 217)
    floor (0.902683258056641 × 131072)
    floor (118316.5)     		ty = 118316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119468 / 118316 ti = "17/119468/118316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119468/118316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119468 ÷ 217
    119468 ÷ 131072     		x = 0.911468505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118316 ÷ 217
    118316 ÷ 131072     		y = 0.902679443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911468505859375 × 2 - 1) × π
    0.82293701171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58533287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.80535888671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53010956194656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58533287} λ = 2.58533287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53010956194656))-π/2
    2×atan(0.0796502931666629)-π/2
    2×0.0794824931238988-π/2
    0.158964986247798-1.57079632675     		φ = -1.41183134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58533287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.128662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41183134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.891977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119468 KachelY 118316 2.58533287 -1.41183134 148.128662 -80.891977
    Oben rechts KachelX + 1 119469 KachelY 118316 2.58538081 -1.41183134 148.131409 -80.891977
    Unten links KachelX 119468 KachelY + 1 118317 2.58533287 -1.41183893 148.128662 -80.892412
    Unten rechts KachelX + 1 119469 KachelY + 1 118317 2.58538081 -1.41183893 148.131409 -80.892412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41183134--1.41183893) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dl = 48.3558900003649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41183134--1.41183893) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dr = 48.3558900003649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58533287-2.58538081) × cos(-1.41183134) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.158296328186954 × 6371000     		do = 48.3477731761995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58533287-2.58538081) × cos(-1.41183893) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.158288833879763 × 6371000     		du = 48.34548422188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41183134)-sin(-1.41183893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158296328186954-0.158288833879763)×R²
    abs(2.58538081-2.58533287)×7.49430719071409e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.49430719071409e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.49430719071409e-06×40589641000000     		ar = 2337.84425924754m²