Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119465 / 118336
↖ ↑ ↗
← S 80.900668°
E148.120422°		 ← 48.30 m → S 80.900668°
E148.123169°		 →
↑
48.29 m
↓
↑
48.29 m
↓
S 80.901103°
E148.120422°		 ← 48.30 m →
2 333 m²		 S 80.901103°
E148.123169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911449432373047 y=0.902835845947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911449432373047 × 217)
    floor (0.911449432373047 × 131072)
    floor (119465.5)     		tx = 119465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902835845947266 × 217)
    floor (0.902835845947266 × 131072)
    floor (118336.5)     		ty = 118336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119465 / 118336 ti = "17/119465/118336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119465/118336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119465 ÷ 217
    119465 ÷ 131072     		x = 0.911445617675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118336 ÷ 217
    118336 ÷ 131072     		y = 0.90283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911445617675781 × 2 - 1) × π
    0.822891235351562 × 3.1415926535     		Λ = 2.58518906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90283203125 × 2 - 1) × π
    -0.8056640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53106829993897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58518906} λ = 2.58518906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53106829993897))-π/2
    2×atan(0.0795739659992223)-π/2
    2×0.0794066466781825-π/2
    0.158813293356365-1.57079632675     		φ = -1.41198303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58518906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.120422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41198303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.900668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119465 KachelY 118336 2.58518906 -1.41198303 148.120422 -80.900668
    Oben rechts KachelX + 1 119466 KachelY 118336 2.58523700 -1.41198303 148.123169 -80.900668
    Unten links KachelX 119465 KachelY + 1 118337 2.58518906 -1.41199061 148.120422 -80.901103
    Unten rechts KachelX + 1 119466 KachelY + 1 118337 2.58523700 -1.41199061 148.123169 -80.901103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41198303--1.41199061) × R
    7.579999999896e-06 × 6371000     		dl = 48.2921799993374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41198303--1.41199061) × R
    7.579999999896e-06 × 6371000     		dr = 48.2921799993374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58518906-2.58523700) × cos(-1.41198303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158146548926799 × 6371000     		do = 48.3020267343821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58518906-2.58523700) × cos(-1.41199061) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158139064311617 × 6371000     		du = 48.2997407402515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41198303)-sin(-1.41199061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158146548926799-0.158139064311617)×R²
    abs(2.58523700-2.58518906)×7.48461518235155e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.48461518235155e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.48461518235155e-06×40589641000000     		ar = 2332.55497159775m²