Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119465 / 118296
↖ ↑ ↗
← S 80.883277°
E148.120422°		 ← 48.39 m → S 80.883277°
E148.123169°		 →
↑
48.42 m
↓
↑
48.42 m
↓
S 80.883713°
E148.120422°		 ← 48.39 m →
2 343 m²		 S 80.883713°
E148.123169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911449432373047 y=0.902530670166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911449432373047 × 217)
    floor (0.911449432373047 × 131072)
    floor (119465.5)     		tx = 119465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902530670166016 × 217)
    floor (0.902530670166016 × 131072)
    floor (118296.5)     		ty = 118296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119465 / 118296 ti = "17/119465/118296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119465/118296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119465 ÷ 217
    119465 ÷ 131072     		x = 0.911445617675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118296 ÷ 217
    118296 ÷ 131072     		y = 0.90252685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911445617675781 × 2 - 1) × π
    0.822891235351562 × 3.1415926535     		Λ = 2.58518906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90252685546875 × 2 - 1) × π
    -0.8050537109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52915082395416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58518906} λ = 2.58518906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52915082395416))-π/2
    2×atan(0.0797266935469492)-π/2
    2×0.0795584114036397-π/2
    0.159116822807279-1.57079632675     		φ = -1.41167950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58518906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.120422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41167950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.883277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119465 KachelY 118296 2.58518906 -1.41167950 148.120422 -80.883277
    Oben rechts KachelX + 1 119466 KachelY 118296 2.58523700 -1.41167950 148.123169 -80.883277
    Unten links KachelX 119465 KachelY + 1 118297 2.58518906 -1.41168710 148.120422 -80.883713
    Unten rechts KachelX + 1 119466 KachelY + 1 118297 2.58523700 -1.41168710 148.123169 -80.883713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41167950--1.41168710) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dl = 48.4195999999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41167950--1.41168710) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dr = 48.4195999999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58518906-2.58523700) × cos(-1.41167950) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158446251909876 × 6371000     		do = 48.3935637397685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58518906-2.58523700) × cos(-1.41168710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15843874791151 × 6371000     		du = 48.3912718255147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41167950)-sin(-1.41168710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158446251909876-0.15843874791151)×R²
    abs(2.58523700-2.58518906)×7.50399836560445e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.50399836560445e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.50399836560445e-06×40589641000000     		ar = 2343.14151205258m²