Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119464 / 118760
↖ ↑ ↗
← S 81.083002°
E148.117676°		 ← 47.34 m → S 81.083002°
E148.120422°		 →
↑
47.34 m
↓
↑
47.34 m
↓
S 81.083428°
E148.117676°		 ← 47.34 m →
2 241 m²		 S 81.083428°
E148.120422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911441802978516 y=0.906070709228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911441802978516 × 217)
    floor (0.911441802978516 × 131072)
    floor (119464.5)     		tx = 119464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906070709228516 × 217)
    floor (0.906070709228516 × 131072)
    floor (118760.5)     		ty = 118760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119464 / 118760 ti = "17/119464/118760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119464/118760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119464 ÷ 217
    119464 ÷ 131072     		x = 0.91143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118760 ÷ 217
    118760 ÷ 131072     		y = 0.90606689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91143798828125 × 2 - 1) × π
    0.8228759765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58514112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90606689453125 × 2 - 1) × π
    -0.8121337890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.55139354537787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58514112} λ = 2.58514112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55139354537787))-π/2
    2×atan(0.077972931437272)-π/2
    2×0.0778154860073887-π/2
    0.155630972014777-1.57079632675     		φ = -1.41516535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58514112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.117676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41516535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.083002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119464 KachelY 118760 2.58514112 -1.41516535 148.117676 -81.083002
    Oben rechts KachelX + 1 119465 KachelY 118760 2.58518906 -1.41516535 148.120422 -81.083002
    Unten links KachelX 119464 KachelY + 1 118761 2.58514112 -1.41517278 148.117676 -81.083428
    Unten rechts KachelX + 1 119465 KachelY + 1 118761 2.58518906 -1.41517278 148.120422 -81.083428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41516535--1.41517278) × R
    7.42999999991945e-06 × 6371000     		dl = 47.3365299994868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41516535--1.41517278) × R
    7.42999999991945e-06 × 6371000     		dr = 47.3365299994868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58514112-2.58518906) × cos(-1.41516535) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15500348086698 × 6371000     		do = 47.342052846342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58514112-2.58518906) × cos(-1.41517278) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154996140662247 × 6371000     		du = 47.3398109588799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41516535)-sin(-1.41517278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15500348086698-0.154996140662247)×R²
    abs(2.58518906-2.58514112)×7.34020473247554e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.34020473247554e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.34020473247554e-06×40589641000000     		ar = 2240.95544335907m²