Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119463 / 118249
↖ ↑ ↗
← S 80.862801°
E148.114929°		 ← 48.49 m → S 80.862801°
E148.117676°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
S 80.863237°
E148.114929°		 ← 48.49 m →
2 351 m²		 S 80.863237°
E148.117676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911434173583984 y=0.902172088623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911434173583984 × 217)
    floor (0.911434173583984 × 131072)
    floor (119463.5)     		tx = 119463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902172088623047 × 217)
    floor (0.902172088623047 × 131072)
    floor (118249.5)     		ty = 118249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119463 / 118249 ti = "17/119463/118249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119463/118249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119463 ÷ 217
    119463 ÷ 131072     		x = 0.911430358886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118249 ÷ 217
    118249 ÷ 131072     		y = 0.902168273925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911430358886719 × 2 - 1) × π
    0.822860717773438 × 3.1415926535     		Λ = 2.58509319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902168273925781 × 2 - 1) × π
    -0.804336547851562 × 3.1415926535     		Φ = -2.52689778967202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58509319} λ = 2.58509319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52689778967202))-π/2
    2×atan(0.0799065230256322)-π/2
    2×0.0797371024961261-π/2
    0.159474204992252-1.57079632675     		φ = -1.41132212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58509319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.114929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41132212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.862801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119463 KachelY 118249 2.58509319 -1.41132212 148.114929 -80.862801
    Oben rechts KachelX + 1 119464 KachelY 118249 2.58514112 -1.41132212 148.117676 -80.862801
    Unten links KachelX 119463 KachelY + 1 118250 2.58509319 -1.41132973 148.114929 -80.863237
    Unten rechts KachelX + 1 119464 KachelY + 1 118250 2.58514112 -1.41132973 148.117676 -80.863237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41132212--1.41132973) × R
    7.61000000015777e-06 × 6371000     		dl = 48.4833100010051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41132212--1.41132973) × R
    7.61000000015777e-06 × 6371000     		dr = 48.4833100010051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58509319-2.58514112) × cos(-1.41132212) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158799107218236 × 6371000     		do = 48.491217742378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58509319-2.58514112) × cos(-1.41132973) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158791593777572 × 6371000     		du = 48.4889234228846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41132212)-sin(-1.41132973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158799107218236-0.158791593777572)×R²
    abs(2.58514112-2.58509319)×7.51344066401982e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.51344066401982e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.51344066401982e-06×40589641000000     		ar = 2350.95912401185m²