Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119462 / 118313
↖ ↑ ↗
← S 80.890673°
E148.112183°		 ← 48.35 m → S 80.890673°
E148.114929°		 →
↑
48.36 m
↓
↑
48.36 m
↓
S 80.891107°
E148.112183°		 ← 48.35 m →
2 338 m²		 S 80.891107°
E148.114929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911426544189453 y=0.902660369873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911426544189453 × 217)
    floor (0.911426544189453 × 131072)
    floor (119462.5)     		tx = 119462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902660369873047 × 217)
    floor (0.902660369873047 × 131072)
    floor (118313.5)     		ty = 118313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119462 / 118313 ti = "17/119462/118313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119462/118313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119462 ÷ 217
    119462 ÷ 131072     		x = 0.911422729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118313 ÷ 217
    118313 ÷ 131072     		y = 0.902656555175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911422729492188 × 2 - 1) × π
    0.822845458984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58504525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902656555175781 × 2 - 1) × π
    -0.805313110351562 × 3.1415926535     		Φ = -2.5299657512477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58504525} λ = 2.58504525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5299657512477))-π/2
    2×atan(0.0796617485546716)-π/2
    2×0.0794938762848218-π/2
    0.158987752569644-1.57079632675     		φ = -1.41180857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58504525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.112183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41180857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.890673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119462 KachelY 118313 2.58504525 -1.41180857 148.112183 -80.890673
    Oben rechts KachelX + 1 119463 KachelY 118313 2.58509319 -1.41180857 148.114929 -80.890673
    Unten links KachelX 119462 KachelY + 1 118314 2.58504525 -1.41181616 148.112183 -80.891107
    Unten rechts KachelX + 1 119463 KachelY + 1 118314 2.58509319 -1.41181616 148.114929 -80.891107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41180857--1.41181616) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dl = 48.3558900003649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41180857--1.41181616) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dr = 48.3558900003649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58504525-2.58509319) × cos(-1.41180857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158318811053809 × 6371000     		do = 48.3546400219982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58504525-2.58509319) × cos(-1.41181616) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158311316773977 × 6371000     		du = 48.3523510760348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41180857)-sin(-1.41181616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158318811053809-0.158311316773977)×R²
    abs(2.58509319-2.58504525)×7.49427983198769e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.49427983198769e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.49427983198769e-06×40589641000000     		ar = 2338.17631187095m²