Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119460 / 118373
↖ ↑ ↗
← S 80.916726°
E148.106690°		 ← 48.21 m → S 80.916726°
E148.109436°		 →
↑
48.16 m
↓
↑
48.16 m
↓
S 80.917159°
E148.106690°		 ← 48.21 m →
2 322 m²		 S 80.917159°
E148.109436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911411285400391 y=0.903118133544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911411285400391 × 217)
    floor (0.911411285400391 × 131072)
    floor (119460.5)     		tx = 119460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903118133544922 × 217)
    floor (0.903118133544922 × 131072)
    floor (118373.5)     		ty = 118373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119460 / 118373 ti = "17/119460/118373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119460/118373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119460 ÷ 217
    119460 ÷ 131072     		x = 0.911407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118373 ÷ 217
    118373 ÷ 131072     		y = 0.903114318847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911407470703125 × 2 - 1) × π
    0.82281494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58494938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903114318847656 × 2 - 1) × π
    -0.806228637695312 × 3.1415926535     		Φ = -2.53284196522491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58494938} λ = 2.58494938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53284196522491))-π/2
    2×atan(0.0794329535095112)-π/2
    2×0.0792665199020402-π/2
    0.15853303980408-1.57079632675     		φ = -1.41226329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58494938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.106690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41226329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.916726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119460 KachelY 118373 2.58494938 -1.41226329 148.106690 -80.916726
    Oben rechts KachelX + 1 119461 KachelY 118373 2.58499731 -1.41226329 148.109436 -80.916726
    Unten links KachelX 119460 KachelY + 1 118374 2.58494938 -1.41227085 148.106690 -80.917159
    Unten rechts KachelX + 1 119461 KachelY + 1 118374 2.58499731 -1.41227085 148.109436 -80.917159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41226329--1.41227085) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dl = 48.1647600001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41226329--1.41227085) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dr = 48.1647600001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58494938-2.58499731) × cos(-1.41226329) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157869809609036 × 6371000     		do = 48.2074455379582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58494938-2.58499731) × cos(-1.41227085) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157862344407416 × 6371000     		du = 48.2051659488372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41226329)-sin(-1.41227085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157869809609036-0.157862344407416)×R²
    abs(2.58499731-2.58494938)×7.4652016198995e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.4652016198995e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.4652016198995e-06×40589641000000     		ar = 2321.84514672516m²