Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119458 / 118299
↖ ↑ ↗
← S 80.884583°
E148.101196°		 ← 48.39 m → S 80.884583°
E148.103943°		 →
↑
48.36 m
↓
↑
48.36 m
↓
S 80.885018°
E148.101196°		 ← 48.38 m →
2 340 m²		 S 80.885018°
E148.103943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911396026611328 y=0.902553558349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911396026611328 × 217)
    floor (0.911396026611328 × 131072)
    floor (119458.5)     		tx = 119458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902553558349609 × 217)
    floor (0.902553558349609 × 131072)
    floor (118299.5)     		ty = 118299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119458 / 118299 ti = "17/119458/118299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119458/118299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119458 ÷ 217
    119458 ÷ 131072     		x = 0.911392211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118299 ÷ 217
    118299 ÷ 131072     		y = 0.902549743652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911392211914062 × 2 - 1) × π
    0.822784423828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58485350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902549743652344 × 2 - 1) × π
    -0.805099487304688 × 3.1415926535     		Φ = -2.52929463465302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58485350} λ = 2.58485350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52929463465302))-π/2
    2×atan(0.0797152288198274)-π/2
    2×0.0795470190796544-π/2
    0.159094038159309-1.57079632675     		φ = -1.41170229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58485350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.101196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41170229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.884583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119458 KachelY 118299 2.58485350 -1.41170229 148.101196 -80.884583
    Oben rechts KachelX + 1 119459 KachelY 118299 2.58490144 -1.41170229 148.103943 -80.884583
    Unten links KachelX 119458 KachelY + 1 118300 2.58485350 -1.41170988 148.101196 -80.885018
    Unten rechts KachelX + 1 119459 KachelY + 1 118300 2.58490144 -1.41170988 148.103943 -80.885018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41170229--1.41170988) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dl = 48.3558900003649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41170229--1.41170988) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dr = 48.3558900003649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58485350-2.58490144) × cos(-1.41170229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158423749761037 × 6371000     		do = 48.3866910043079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58485350-2.58490144) × cos(-1.41170988) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158416255608955 × 6371000     		du = 48.3844020973625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41170229)-sin(-1.41170988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158423749761037-0.158416255608955)×R²
    abs(2.58490144-2.58485350)×7.49415208239901e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.49415208239901e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.49415208239901e-06×40589641000000     		ar = 2339.72616668555m²