Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119456 / 118238
↖ ↑ ↗
← S 80.858002°
E148.095703°		 ← 48.52 m → S 80.858002°
E148.098449°		 →
↑
48.55 m
↓
↑
48.55 m
↓
S 80.858439°
E148.095703°		 ← 48.51 m →
2 355 m²		 S 80.858439°
E148.098449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911380767822266 y=0.902088165283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911380767822266 × 217)
    floor (0.911380767822266 × 131072)
    floor (119456.5)     		tx = 119456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902088165283203 × 217)
    floor (0.902088165283203 × 131072)
    floor (118238.5)     		ty = 118238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119456 / 118238 ti = "17/119456/118238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119456/118238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119456 ÷ 217
    119456 ÷ 131072     		x = 0.911376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118238 ÷ 217
    118238 ÷ 131072     		y = 0.902084350585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911376953125 × 2 - 1) × π
    0.82275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58475763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902084350585938 × 2 - 1) × π
    -0.804168701171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.5263704837762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58475763} λ = 2.58475763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5263704837762))-π/2
    2×atan(0.0799486693173557)-π/2
    2×0.0797789812487563-π/2
    0.159557962497513-1.57079632675     		φ = -1.41123836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58475763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.095703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41123836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.858002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119456 KachelY 118238 2.58475763 -1.41123836 148.095703 -80.858002
    Oben rechts KachelX + 1 119457 KachelY 118238 2.58480556 -1.41123836 148.098449 -80.858002
    Unten links KachelX 119456 KachelY + 1 118239 2.58475763 -1.41124598 148.095703 -80.858439
    Unten rechts KachelX + 1 119457 KachelY + 1 118239 2.58480556 -1.41124598 148.098449 -80.858439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41123836--1.41124598) × R
    7.61999999987495e-06 × 6371000     		dl = 48.5470199992033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41123836--1.41124598) × R
    7.61999999987495e-06 × 6371000     		dr = 48.5470199992033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58475763-2.58480556) × cos(-1.41123836) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158881803823362 × 6371000     		do = 48.5164701455933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58475763-2.58480556) × cos(-1.41124598) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158874280610955 × 6371000     		du = 48.5141728421805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41123836)-sin(-1.41124598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158881803823362-0.158874280610955)×R²
    abs(2.58480556-2.58475763)×7.52321240726772e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.52321240726772e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.52321240726772e-06×40589641000000     		ar = 2355.27428267304m²