Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119454 / 118234
↖ ↑ ↗
← S 80.856257°
E148.090210°		 ← 48.54 m → S 80.856257°
E148.092957°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
S 80.856693°
E148.090210°		 ← 48.53 m →
2 353 m²		 S 80.856693°
E148.092957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911365509033203 y=0.902057647705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911365509033203 × 217)
    floor (0.911365509033203 × 131072)
    floor (119454.5)     		tx = 119454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902057647705078 × 217)
    floor (0.902057647705078 × 131072)
    floor (118234.5)     		ty = 118234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119454 / 118234 ti = "17/119454/118234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119454/118234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119454 ÷ 217
    119454 ÷ 131072     		x = 0.911361694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118234 ÷ 217
    118234 ÷ 131072     		y = 0.902053833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911361694335938 × 2 - 1) × π
    0.822723388671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58466175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902053833007812 × 2 - 1) × π
    -0.804107666015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52617873617772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58466175} λ = 2.58466175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52617873617772))-π/2
    2×atan(0.0799640007525349)-π/2
    2×0.0797942152924575-π/2
    0.159588430584915-1.57079632675     		φ = -1.41120790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58466175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.090210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41120790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.856257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119454 KachelY 118234 2.58466175 -1.41120790 148.090210 -80.856257
    Oben rechts KachelX + 1 119455 KachelY 118234 2.58470969 -1.41120790 148.092957 -80.856257
    Unten links KachelX 119454 KachelY + 1 118235 2.58466175 -1.41121551 148.090210 -80.856693
    Unten rechts KachelX + 1 119455 KachelY + 1 118235 2.58470969 -1.41121551 148.092957 -80.856693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41120790--1.41121551) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dl = 48.4833099995905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41120790--1.41121551) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dr = 48.4833099995905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58466175-2.58470969) × cos(-1.41120790) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158911876834878 × 6371000     		do = 48.5357775770497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58466175-2.58470969) × cos(-1.41121551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15890436353229 × 6371000     		du = 48.533482821047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41120790)-sin(-1.41121551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158911876834878-0.15890436353229)×R²
    abs(2.58470969-2.58466175)×7.51330258760841e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.51330258760841e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.51330258760841e-06×40589641000000     		ar = 2353.11952149005m²