Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119452 / 118356
↖ ↑ ↗
← S 80.909352°
E148.084717°		 ← 48.26 m → S 80.909352°
E148.087464°		 →
↑
48.29 m
↓
↑
48.29 m
↓
S 80.909786°
E148.084717°		 ← 48.25 m →
2 330 m²		 S 80.909786°
E148.087464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911350250244141 y=0.902988433837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911350250244141 × 217)
    floor (0.911350250244141 × 131072)
    floor (119452.5)     		tx = 119452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902988433837891 × 217)
    floor (0.902988433837891 × 131072)
    floor (118356.5)     		ty = 118356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119452 / 118356 ti = "17/119452/118356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119452/118356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119452 ÷ 217
    119452 ÷ 131072     		x = 0.911346435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118356 ÷ 217
    118356 ÷ 131072     		y = 0.902984619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911346435546875 × 2 - 1) × π
    0.82269287109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58456588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902984619140625 × 2 - 1) × π
    -0.80596923828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53202703793137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58456588} λ = 2.58456588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53202703793137))-π/2
    2×atan(0.0794977119744691)-π/2
    2×0.0793308720002648-π/2
    0.15866174400053-1.57079632675     		φ = -1.41213458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58456588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.084717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41213458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.909352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119452 KachelY 118356 2.58456588 -1.41213458 148.084717 -80.909352
    Oben rechts KachelX + 1 119453 KachelY 118356 2.58461382 -1.41213458 148.087464 -80.909352
    Unten links KachelX 119452 KachelY + 1 118357 2.58456588 -1.41214216 148.084717 -80.909786
    Unten rechts KachelX + 1 119453 KachelY + 1 118357 2.58461382 -1.41214216 148.087464 -80.909786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41213458--1.41214216) × R
    7.579999999896e-06 × 6371000     		dl = 48.2921799993374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41213458--1.41214216) × R
    7.579999999896e-06 × 6371000     		dr = 48.2921799993374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58456588-2.58461382) × cos(-1.41213458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157996904269261 × 6371000     		do = 48.2563214041166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58456588-2.58461382) × cos(-1.41214216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157989419472498 × 6371000     		du = 48.2540353545266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41213458)-sin(-1.41214216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157996904269261-0.157989419472498)×R²
    abs(2.58461382-2.58456588)×7.48479676279667e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.48479676279667e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.48479676279667e-06×40589641000000     		ar = 2330.34776020031m²