Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119452 / 118331
↖ ↑ ↗
← S 80.898496°
E148.084717°		 ← 48.31 m → S 80.898496°
E148.087464°		 →
↑
48.36 m
↓
↑
48.36 m
↓
S 80.898931°
E148.084717°		 ← 48.31 m →
2 336 m²		 S 80.898931°
E148.087464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911350250244141 y=0.902797698974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911350250244141 × 217)
    floor (0.911350250244141 × 131072)
    floor (119452.5)     		tx = 119452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902797698974609 × 217)
    floor (0.902797698974609 × 131072)
    floor (118331.5)     		ty = 118331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119452 / 118331 ti = "17/119452/118331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119452/118331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119452 ÷ 217
    119452 ÷ 131072     		x = 0.911346435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118331 ÷ 217
    118331 ÷ 131072     		y = 0.902793884277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911346435546875 × 2 - 1) × π
    0.82269287109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58456588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902793884277344 × 2 - 1) × π
    -0.805587768554688 × 3.1415926535     		Φ = -2.53082861544086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58456588} λ = 2.58456588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53082861544086))-π/2
    2×atan(0.0795930409312162)-π/2
    2×0.0794256015587945-π/2
    0.158851203117589-1.57079632675     		φ = -1.41194512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58456588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.084717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41194512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.898496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119452 KachelY 118331 2.58456588 -1.41194512 148.084717 -80.898496
    Oben rechts KachelX + 1 119453 KachelY 118331 2.58461382 -1.41194512 148.087464 -80.898496
    Unten links KachelX 119452 KachelY + 1 118332 2.58456588 -1.41195271 148.084717 -80.898931
    Unten rechts KachelX + 1 119453 KachelY + 1 118332 2.58461382 -1.41195271 148.087464 -80.898931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41194512--1.41195271) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dl = 48.3558900003649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41194512--1.41195271) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dr = 48.3558900003649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58456588-2.58461382) × cos(-1.41194512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158183981740501 × 6371000     		do = 48.3134596792075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58456588-2.58461382) × cos(-1.41195271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158176487296659 × 6371000     		du = 48.3111706831511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41194512)-sin(-1.41195271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158183981740501-0.158176487296659)×R²
    abs(2.58461382-2.58456588)×7.4944438421265e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.4944438421265e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.4944438421265e-06×40589641000000     		ar = 2336.18499861747m²