Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11945 / 13737
↖ ↑ ↗
← N 27.907058°
W 48.768311°		 ← 1 079.57 m → N 27.907058°
W 48.757324°		 →
↑
1 079.57 m
↓
↑
1 079.57 m
↓
N 27.897349°
W 48.768311°		 ← 1 079.67 m →
1 165 522 m²		 N 27.897349°
W 48.757324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364547729492188 y=0.419235229492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364547729492188 × 215)
    floor (0.364547729492188 × 32768)
    floor (11945.5)     		tx = 11945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419235229492188 × 215)
    floor (0.419235229492188 × 32768)
    floor (13737.5)     		ty = 13737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11945 / 13737 ti = "15/11945/13737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11945/13737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11945 ÷ 215
    11945 ÷ 32768     		x = 0.364532470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13737 ÷ 215
    13737 ÷ 32768     		y = 0.419219970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364532470703125 × 2 - 1) × π
    -0.27093505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85116759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419219970703125 × 2 - 1) × π
    0.16156005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.507555893177155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85116759} λ = -0.85116759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507555893177155))-π/2
    2×atan(1.66122601526466)-π/2
    2×1.0289331899522-π/2
    2.0578663799044-1.57079632675     		φ = 0.48707005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85116759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.768311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48707005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.907058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11945 KachelY 13737 -0.85116759 0.48707005 -48.768311 27.907058
    Oben rechts KachelX + 1 11946 KachelY 13737 -0.85097584 0.48707005 -48.757324 27.907058
    Unten links KachelX 11945 KachelY + 1 13738 -0.85116759 0.48690060 -48.768311 27.897349
    Unten rechts KachelX + 1 11946 KachelY + 1 13738 -0.85097584 0.48690060 -48.757324 27.897349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48707005-0.48690060) × R
    0.00016944999999996 × 6371000     		dl = 1079.56594999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48707005-0.48690060) × R
    0.00016944999999996 × 6371000     		dr = 1079.56594999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85116759--0.85097584) × cos(0.48707005) × R
    0.000191749999999935 × 0.88370797972056 × 6371000     		do = 1079.57235356447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85116759--0.85097584) × cos(0.48690060) × R
    0.000191749999999935 × 0.883787276187528 × 6371000     		du = 1079.66922524091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48707005)-sin(0.48690060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88370797972056-0.883787276187528)×R²
    abs(-0.85097584--0.85116759)×7.92964669682483e-05×R²
    0.000191749999999935×7.92964669682483e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.92964669682483e-05×40589641000000     		ar = 1165521.84593968m²