Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119448 / 118314
↖ ↑ ↗
← S 80.891107°
E148.073730°		 ← 48.35 m → S 80.891107°
E148.076477°		 →
↑
48.36 m
↓
↑
48.36 m
↓
S 80.891542°
E148.073730°		 ← 48.35 m →
2 338 m²		 S 80.891542°
E148.076477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911319732666016 y=0.902667999267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911319732666016 × 217)
    floor (0.911319732666016 × 131072)
    floor (119448.5)     		tx = 119448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902667999267578 × 217)
    floor (0.902667999267578 × 131072)
    floor (118314.5)     		ty = 118314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119448 / 118314 ti = "17/119448/118314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119448/118314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119448 ÷ 217
    119448 ÷ 131072     		x = 0.91131591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118314 ÷ 217
    118314 ÷ 131072     		y = 0.902664184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91131591796875 × 2 - 1) × π
    0.8226318359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58437413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902664184570312 × 2 - 1) × π
    -0.805328369140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53001368814732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58437413} λ = 2.58437413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53001368814732))-π/2
    2×atan(0.0796579299089553)-π/2
    2×0.0794900817182486-π/2
    0.158980163436497-1.57079632675     		φ = -1.41181616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58437413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.073730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41181616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.891107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119448 KachelY 118314 2.58437413 -1.41181616 148.073730 -80.891107
    Oben rechts KachelX + 1 119449 KachelY 118314 2.58442207 -1.41181616 148.076477 -80.891107
    Unten links KachelX 119448 KachelY + 1 118315 2.58437413 -1.41182375 148.073730 -80.891542
    Unten rechts KachelX + 1 119449 KachelY + 1 118315 2.58442207 -1.41182375 148.076477 -80.891542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41181616--1.41182375) × R
    7.58999999983523e-06 × 6371000     		dl = 48.3558899989502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41181616--1.41182375) × R
    7.58999999983523e-06 × 6371000     		dr = 48.3558899989502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58437413-2.58442207) × cos(-1.41181616) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158311316773977 × 6371000     		do = 48.3523510760348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58437413-2.58442207) × cos(-1.41182375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158303822485026 × 6371000     		du = 48.3500621272859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41181616)-sin(-1.41182375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158311316773977-0.158303822485026)×R²
    abs(2.58442207-2.58437413)×7.49428895177595e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.49428895177595e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.49428895177595e-06×40589641000000     		ar = 2338.06562779995m²