Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119447 / 118725
↖ ↑ ↗
← S 81.068089°
E148.070984°		 ← 47.41 m → S 81.068089°
E148.073730°		 →
↑
47.40 m
↓
↑
47.40 m
↓
S 81.068516°
E148.070984°		 ← 47.41 m →
2 247 m²		 S 81.068516°
E148.073730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911312103271484 y=0.905803680419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911312103271484 × 217)
    floor (0.911312103271484 × 131072)
    floor (119447.5)     		tx = 119447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905803680419922 × 217)
    floor (0.905803680419922 × 131072)
    floor (118725.5)     		ty = 118725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119447 / 118725 ti = "17/119447/118725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119447/118725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119447 ÷ 217
    119447 ÷ 131072     		x = 0.911308288574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118725 ÷ 217
    118725 ÷ 131072     		y = 0.905799865722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911308288574219 × 2 - 1) × π
    0.822616577148438 × 3.1415926535     		Λ = 2.58432620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905799865722656 × 2 - 1) × π
    -0.811599731445312 × 3.1415926535     		Φ = -2.54971575389117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58432620} λ = 2.58432620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54971575389117))-π/2
    2×atan(0.0781038635655214)-π/2
    2×0.0779456255865279-π/2
    0.155891251173056-1.57079632675     		φ = -1.41490508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58432620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.070984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41490508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.068089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119447 KachelY 118725 2.58432620 -1.41490508 148.070984 -81.068089
    Oben rechts KachelX + 1 119448 KachelY 118725 2.58437413 -1.41490508 148.073730 -81.068089
    Unten links KachelX 119447 KachelY + 1 118726 2.58432620 -1.41491252 148.070984 -81.068516
    Unten rechts KachelX + 1 119448 KachelY + 1 118726 2.58437413 -1.41491252 148.073730 -81.068516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41490508--1.41491252) × R
    7.43999999985867e-06 × 6371000     		dl = 47.4002399990996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41490508--1.41491252) × R
    7.43999999985867e-06 × 6371000     		dr = 47.4002399990996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58432620-2.58437413) × cos(-1.41490508) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15526059997103 × 6371000     		do = 47.4106919862008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58432620-2.58437413) × cos(-1.41491252) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155253250187539 × 6371000     		du = 47.4084476413938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41490508)-sin(-1.41491252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15526059997103-0.155253250187539)×R²
    abs(2.58437413-2.58432620)×7.34978349123394e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.34978349123394e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.34978349123394e-06×40589641000000     		ar = 2247.22498738127m²