Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119447 / 118279
↖ ↑ ↗
← S 80.875876°
E148.070984°		 ← 48.42 m → S 80.875876°
E148.073730°		 →
↑
48.42 m
↓
↑
48.42 m
↓
S 80.876312°
E148.070984°		 ← 48.42 m →
2 345 m²		 S 80.876312°
E148.073730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911312103271484 y=0.902400970458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911312103271484 × 217)
    floor (0.911312103271484 × 131072)
    floor (119447.5)     		tx = 119447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902400970458984 × 217)
    floor (0.902400970458984 × 131072)
    floor (118279.5)     		ty = 118279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119447 / 118279 ti = "17/119447/118279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119447/118279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119447 ÷ 217
    119447 ÷ 131072     		x = 0.911308288574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118279 ÷ 217
    118279 ÷ 131072     		y = 0.902397155761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911308288574219 × 2 - 1) × π
    0.822616577148438 × 3.1415926535     		Λ = 2.58432620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902397155761719 × 2 - 1) × π
    -0.804794311523438 × 3.1415926535     		Φ = -2.52833589666062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58432620} λ = 2.58432620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52833589666062))-π/2
    2×atan(0.0797916914862446)-π/2
    2×0.0796229984704281-π/2
    0.159245996940856-1.57079632675     		φ = -1.41155033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58432620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.070984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41155033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.875876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119447 KachelY 118279 2.58432620 -1.41155033 148.070984 -80.875876
    Oben rechts KachelX + 1 119448 KachelY 118279 2.58437413 -1.41155033 148.073730 -80.875876
    Unten links KachelX 119447 KachelY + 1 118280 2.58432620 -1.41155793 148.070984 -80.876312
    Unten rechts KachelX + 1 119448 KachelY + 1 118280 2.58437413 -1.41155793 148.073730 -80.876312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41155033--1.41155793) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dl = 48.4195999999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41155033--1.41155793) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dr = 48.4195999999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58432620-2.58437413) × cos(-1.41155033) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158573788861089 × 6371000     		do = 48.4224140714433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58432620-2.58437413) × cos(-1.41155793) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158566285018328 × 6371000     		du = 48.4201226827849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41155033)-sin(-1.41155793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158573788861089-0.158566285018328)×R²
    abs(2.58437413-2.58432620)×7.50384276124172e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.50384276124172e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.50384276124172e-06×40589641000000     		ar = 2344.53844632078m²