Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119440 / 118751
↖ ↑ ↗
← S 81.079170°
E148.051758°		 ← 47.35 m → S 81.079170°
E148.054504°		 →
↑
47.34 m
↓
↑
47.34 m
↓
S 81.079596°
E148.051758°		 ← 47.35 m →
2 241 m²		 S 81.079596°
E148.054504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911258697509766 y=0.906002044677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911258697509766 × 217)
    floor (0.911258697509766 × 131072)
    floor (119440.5)     		tx = 119440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906002044677734 × 217)
    floor (0.906002044677734 × 131072)
    floor (118751.5)     		ty = 118751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119440 / 118751 ti = "17/119440/118751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119440/118751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119440 ÷ 217
    119440 ÷ 131072     		x = 0.9112548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118751 ÷ 217
    118751 ÷ 131072     		y = 0.905998229980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9112548828125 × 2 - 1) × π
    0.822509765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58399064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905998229980469 × 2 - 1) × π
    -0.811996459960938 × 3.1415926535     		Φ = -2.55096211328129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58399064} λ = 2.58399064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55096211328129))-π/2
    2×atan(0.0780065787202956)-π/2
    2×0.0778489298713874-π/2
    0.155697859742775-1.57079632675     		φ = -1.41509847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58399064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.051758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41509847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.079170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119440 KachelY 118751 2.58399064 -1.41509847 148.051758 -81.079170
    Oben rechts KachelX + 1 119441 KachelY 118751 2.58403857 -1.41509847 148.054504 -81.079170
    Unten links KachelX 119440 KachelY + 1 118752 2.58399064 -1.41510590 148.051758 -81.079596
    Unten rechts KachelX + 1 119441 KachelY + 1 118752 2.58403857 -1.41510590 148.054504 -81.079596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41509847--1.41510590) × R
    7.42999999991945e-06 × 6371000     		dl = 47.3365299994868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41509847--1.41510590) × R
    7.42999999991945e-06 × 6371000     		dr = 47.3365299994868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58399064-2.58403857) × cos(-1.41509847) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155069552203497 × 6371000     		do = 47.3523532520797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58399064-2.58403857) × cos(-1.41510590) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155062212075803 × 6371000     		du = 47.3501118557867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41509847)-sin(-1.41510590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155069552203497-0.155062212075803)×R²
    abs(2.58403857-2.58399064)×7.34012769379455e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.34012769379455e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.34012769379455e-06×40589641000000     		ar = 2241.44304022537m²