Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119440 / 118736
↖ ↑ ↗
← S 81.072779°
E148.051758°		 ← 47.39 m → S 81.072779°
E148.054504°		 →
↑
47.40 m
↓
↑
47.40 m
↓
S 81.073205°
E148.051758°		 ← 47.38 m →
2 246 m²		 S 81.073205°
E148.054504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911258697509766 y=0.905887603759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911258697509766 × 217)
    floor (0.911258697509766 × 131072)
    floor (119440.5)     		tx = 119440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905887603759766 × 217)
    floor (0.905887603759766 × 131072)
    floor (118736.5)     		ty = 118736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119440 / 118736 ti = "17/119440/118736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119440/118736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119440 ÷ 217
    119440 ÷ 131072     		x = 0.9112548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118736 ÷ 217
    118736 ÷ 131072     		y = 0.9058837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9112548828125 × 2 - 1) × π
    0.822509765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58399064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.811767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55024305978699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58399064} λ = 2.58399064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55024305978699))-π/2
    2×atan(0.0780626897943171)-π/2
    2×0.0779047013304408-π/2
    0.155809402660882-1.57079632675     		φ = -1.41498692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58399064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.051758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41498692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.072779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119440 KachelY 118736 2.58399064 -1.41498692 148.051758 -81.072779
    Oben rechts KachelX + 1 119441 KachelY 118736 2.58403857 -1.41498692 148.054504 -81.072779
    Unten links KachelX 119440 KachelY + 1 118737 2.58399064 -1.41499436 148.051758 -81.073205
    Unten rechts KachelX + 1 119441 KachelY + 1 118737 2.58403857 -1.41499436 148.054504 -81.073205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41498692--1.41499436) × R
    7.43999999985867e-06 × 6371000     		dl = 47.4002399990996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41498692--1.41499436) × R
    7.43999999985867e-06 × 6371000     		dr = 47.4002399990996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58399064-2.58403857) × cos(-1.41498692) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155179751880032 × 6371000     		do = 47.3860040490118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58399064-2.58403857) × cos(-1.41499436) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155172402002031 × 6371000     		du = 47.3837596753452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41498692)-sin(-1.41499436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155179751880032-0.155172402002031)×R²
    abs(2.58403857-2.58399064)×7.34987800096731e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.34987800096731e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.34987800096731e-06×40589641000000     		ar = 2246.05477249807m²