Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11944 / 20200
↖ ↑ ↗
← S 38.616871°
W 48.779297°		 ← 954.51 m → S 38.616871°
W 48.768311°		 →
↑
954.44 m
↓
↑
954.44 m
↓
S 38.625454°
W 48.779297°		 ← 954.40 m →
910 969 m²		 S 38.625454°
W 48.768311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364517211914062 y=0.616470336914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364517211914062 × 215)
    floor (0.364517211914062 × 32768)
    floor (11944.5)     		tx = 11944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616470336914062 × 215)
    floor (0.616470336914062 × 32768)
    floor (20200.5)     		ty = 20200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11944 / 20200 ti = "15/11944/20200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11944/20200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11944 ÷ 215
    11944 ÷ 32768     		x = 0.364501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20200 ÷ 215
    20200 ÷ 32768     		y = 0.616455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364501953125 × 2 - 1) × π
    -0.27099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85135934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616455078125 × 2 - 1) × π
    -0.23291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.731708835800537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85135934} λ = -0.85135934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.731708835800537))-π/2
    2×atan(0.481086189970709)-π/2
    2×0.448402395199757-π/2
    0.896804790399513-1.57079632675     		φ = -0.67399154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85135934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.779297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67399154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.616871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11944 KachelY 20200 -0.85135934 -0.67399154 -48.779297 -38.616871
    Oben rechts KachelX + 1 11945 KachelY 20200 -0.85116759 -0.67399154 -48.768311 -38.616871
    Unten links KachelX 11944 KachelY + 1 20201 -0.85135934 -0.67414135 -48.779297 -38.625454
    Unten rechts KachelX + 1 11945 KachelY + 1 20201 -0.85116759 -0.67414135 -48.768311 -38.625454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67399154--0.67414135) × R
    0.000149810000000028 × 6371000     		dl = 954.439510000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67399154--0.67414135) × R
    0.000149810000000028 × 6371000     		dr = 954.439510000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85135934--0.85116759) × cos(-0.67399154) × R
    0.000191750000000046 × 0.781336737987498 × 6371000     		do = 954.511626592723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85135934--0.85116759) × cos(-0.67414135) × R
    0.000191750000000046 × 0.781243231347798 × 6371000     		du = 954.39739521153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67399154)-sin(-0.67414135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.781336737987498-0.781243231347798)×R²
    abs(-0.85116759--0.85135934)×9.35066396997586e-05×R²
    0.000191750000000046×9.35066396997586e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.35066396997586e-05×40589641000000     		ar = 910969.097407222m²