Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119437 / 118755
↖ ↑ ↗
← S 81.080873°
E148.043518°		 ← 47.34 m → S 81.080873°
E148.046264°		 →
↑
47.34 m
↓
↑
47.34 m
↓
S 81.081299°
E148.043518°		 ← 47.34 m →
2 241 m²		 S 81.081299°
E148.046264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911235809326172 y=0.906032562255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911235809326172 × 217)
    floor (0.911235809326172 × 131072)
    floor (119437.5)     		tx = 119437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906032562255859 × 217)
    floor (0.906032562255859 × 131072)
    floor (118755.5)     		ty = 118755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119437 / 118755 ti = "17/119437/118755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119437/118755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119437 ÷ 217
    119437 ÷ 131072     		x = 0.911231994628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118755 ÷ 217
    118755 ÷ 131072     		y = 0.906028747558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911231994628906 × 2 - 1) × π
    0.822463989257812 × 3.1415926535     		Λ = 2.58384683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906028747558594 × 2 - 1) × π
    -0.812057495117188 × 3.1415926535     		Φ = -2.55115386087977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58384683} λ = 2.58384683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55115386087977))-π/2
    2×atan(0.0779916225801081)-π/2
    2×0.0778340641720294-π/2
    0.155668128344059-1.57079632675     		φ = -1.41512820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58384683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.043518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41512820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.080873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119437 KachelY 118755 2.58384683 -1.41512820 148.043518 -81.080873
    Oben rechts KachelX + 1 119438 KachelY 118755 2.58389476 -1.41512820 148.046264 -81.080873
    Unten links KachelX 119437 KachelY + 1 118756 2.58384683 -1.41513563 148.043518 -81.081299
    Unten rechts KachelX + 1 119438 KachelY + 1 118756 2.58389476 -1.41513563 148.046264 -81.081299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41512820--1.41513563) × R
    7.42999999991945e-06 × 6371000     		dl = 47.3365299994868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41512820--1.41513563) × R
    7.42999999991945e-06 × 6371000     		dr = 47.3365299994868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58384683-2.58389476) × cos(-1.41512820) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15504018176228 × 6371000     		do = 47.3433846345278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58384683-2.58389476) × cos(-1.41513563) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155032841600336 × 6371000     		du = 47.3411432277761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41512820)-sin(-1.41513563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15504018176228-0.155032841600336)×R²
    abs(2.58389476-2.58384683)×7.34016194364751e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.34016194364751e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.34016194364751e-06×40589641000000     		ar = 2241.01849687119m²