Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119432 / 118616
↖ ↑ ↗
← S 81.021487°
E148.029785°		 ← 47.67 m → S 81.021487°
E148.032532°		 →
↑
47.66 m
↓
↑
47.66 m
↓
S 81.021916°
E148.029785°		 ← 47.66 m →
2 271 m²		 S 81.021916°
E148.032532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911197662353516 y=0.904972076416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911197662353516 × 217)
    floor (0.911197662353516 × 131072)
    floor (119432.5)     		tx = 119432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904972076416016 × 217)
    floor (0.904972076416016 × 131072)
    floor (118616.5)     		ty = 118616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119432 / 118616 ti = "17/119432/118616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119432/118616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119432 ÷ 217
    119432 ÷ 131072     		x = 0.91119384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118616 ÷ 217
    118616 ÷ 131072     		y = 0.90496826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91119384765625 × 2 - 1) × π
    0.8223876953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58360714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90496826171875 × 2 - 1) × π
    -0.8099365234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54449063183258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58360714} λ = 2.58360714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54449063183258))-π/2
    2×atan(0.078513033837278)-π/2
    2×0.0783523020261431-π/2
    0.156704604052286-1.57079632675     		φ = -1.41409172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58360714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.029785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41409172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.021487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119432 KachelY 118616 2.58360714 -1.41409172 148.029785 -81.021487
    Oben rechts KachelX + 1 119433 KachelY 118616 2.58365508 -1.41409172 148.032532 -81.021487
    Unten links KachelX 119432 KachelY + 1 118617 2.58360714 -1.41409920 148.029785 -81.021916
    Unten rechts KachelX + 1 119433 KachelY + 1 118617 2.58365508 -1.41409920 148.032532 -81.021916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41409172--1.41409920) × R
    7.47999999983762e-06 × 6371000     		dl = 47.6550799989655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41409172--1.41409920) × R
    7.47999999983762e-06 × 6371000     		dr = 47.6550799989655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58360714-2.58365508) × cos(-1.41409172) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.156064045354463 × 6371000     		do = 47.6659765401907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58360714-2.58365508) × cos(-1.41409920) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.156056657003 × 6371000     		du = 47.6637199474778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41409172)-sin(-1.41409920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156064045354463-0.156056657003)×R²
    abs(2.58365508-2.58360714)×7.38835146277261e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.38835146277261e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.38835146277261e-06×40589641000000     		ar = 2271.47215610498m²