Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119431 / 118647
↖ ↑ ↗
← S 81.034766°
E148.027039°		 ← 47.59 m → S 81.034766°
E148.029785°		 →
↑
47.59 m
↓
↑
47.59 m
↓
S 81.035194°
E148.027039°		 ← 47.58 m →
2 265 m²		 S 81.035194°
E148.029785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911190032958984 y=0.905208587646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911190032958984 × 217)
    floor (0.911190032958984 × 131072)
    floor (119431.5)     		tx = 119431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905208587646484 × 217)
    floor (0.905208587646484 × 131072)
    floor (118647.5)     		ty = 118647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119431 / 118647 ti = "17/119431/118647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119431/118647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119431 ÷ 217
    119431 ÷ 131072     		x = 0.911186218261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118647 ÷ 217
    118647 ÷ 131072     		y = 0.905204772949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911186218261719 × 2 - 1) × π
    0.822372436523438 × 3.1415926535     		Λ = 2.58355921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905204772949219 × 2 - 1) × π
    -0.810409545898438 × 3.1415926535     		Φ = -2.5459766757208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58355921} λ = 2.58355921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5459766757208))-π/2
    2×atan(0.0783964466714761)-π/2
    2×0.078236428081547-π/2
    0.156472856163094-1.57079632675     		φ = -1.41432347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58355921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.027039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41432347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.034766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119431 KachelY 118647 2.58355921 -1.41432347 148.027039 -81.034766
    Oben rechts KachelX + 1 119432 KachelY 118647 2.58360714 -1.41432347 148.029785 -81.034766
    Unten links KachelX 119431 KachelY + 1 118648 2.58355921 -1.41433094 148.027039 -81.035194
    Unten rechts KachelX + 1 119432 KachelY + 1 118648 2.58360714 -1.41433094 148.029785 -81.035194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41432347--1.41433094) × R
    7.46999999989839e-06 × 6371000     		dl = 47.5913699993527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41432347--1.41433094) × R
    7.46999999989839e-06 × 6371000     		dr = 47.5913699993527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58355921-2.58360714) × cos(-1.41432347) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.155835130812656 × 6371000     		do = 47.5861318898564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58355921-2.58360714) × cos(-1.41433094) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.155827752068705 × 6371000     		du = 47.5838787016247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41432347)-sin(-1.41433094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155835130812656-0.155827752068705)×R²
    abs(2.58360714-2.58355921)×7.37874395101423e-06×R²
    4.79299999995852e-05×7.37874395101423e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×7.37874395101423e-06×40589641000000     		ar = 2264.63559352981m²