Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119430 / 118731
↖ ↑ ↗
← S 81.070648°
E148.024292°		 ← 47.41 m → S 81.070648°
E148.027039°		 →
↑
47.40 m
↓
↑
47.40 m
↓
S 81.071074°
E148.024292°		 ← 47.40 m →
2 247 m²		 S 81.071074°
E148.027039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911182403564453 y=0.905849456787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911182403564453 × 217)
    floor (0.911182403564453 × 131072)
    floor (119430.5)     		tx = 119430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905849456787109 × 217)
    floor (0.905849456787109 × 131072)
    floor (118731.5)     		ty = 118731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119430 / 118731 ti = "17/119430/118731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119430/118731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119430 ÷ 217
    119430 ÷ 131072     		x = 0.911178588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118731 ÷ 217
    118731 ÷ 131072     		y = 0.905845642089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911178588867188 × 2 - 1) × π
    0.822357177734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58351127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905845642089844 × 2 - 1) × π
    -0.811691284179688 × 3.1415926535     		Φ = -2.55000337528889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58351127} λ = 2.58351127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55000337528889))-π/2
    2×atan(0.0780814024534184)-π/2
    2×0.0779233006223122-π/2
    0.155846601244624-1.57079632675     		φ = -1.41494973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58351127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.024292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41494973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.070648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119430 KachelY 118731 2.58351127 -1.41494973 148.024292 -81.070648
    Oben rechts KachelX + 1 119431 KachelY 118731 2.58355921 -1.41494973 148.027039 -81.070648
    Unten links KachelX 119430 KachelY + 1 118732 2.58351127 -1.41495717 148.024292 -81.071074
    Unten rechts KachelX + 1 119431 KachelY + 1 118732 2.58355921 -1.41495717 148.027039 -81.071074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41494973--1.41495717) × R
    7.44000000008072e-06 × 6371000     		dl = 47.4002400005142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41494973--1.41495717) × R
    7.44000000008072e-06 × 6371000     		dr = 47.4002400005142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58351127-2.58355921) × cos(-1.41494973) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.155216491262378 × 6371000     		do = 47.4071117044234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58351127-2.58355921) × cos(-1.41495717) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.155209141427318 × 6371000     		du = 47.4048668756113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41494973)-sin(-1.41495717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155216491262378-0.155209141427318)×R²
    abs(2.58355921-2.58351127)×7.34983505984443e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.34983505984443e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.34983505984443e-06×40589641000000     		ar = 2247.05527000368m²