Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119421 / 118719
↖ ↑ ↗
← S 81.065530°
E147.999573°		 ← 47.42 m → S 81.065530°
E148.002319°		 →
↑
47.46 m
↓
↑
47.46 m
↓
S 81.065957°
E147.999573°		 ← 47.42 m →
2 251 m²		 S 81.065957°
E148.002319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911113739013672 y=0.905757904052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911113739013672 × 217)
    floor (0.911113739013672 × 131072)
    floor (119421.5)     		tx = 119421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905757904052734 × 217)
    floor (0.905757904052734 × 131072)
    floor (118719.5)     		ty = 118719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119421 / 118719 ti = "17/119421/118719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119421/118719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119421 ÷ 217
    119421 ÷ 131072     		x = 0.911109924316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118719 ÷ 217
    118719 ÷ 131072     		y = 0.905754089355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911109924316406 × 2 - 1) × π
    0.822219848632812 × 3.1415926535     		Λ = 2.58307984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905754089355469 × 2 - 1) × π
    -0.811508178710938 × 3.1415926535     		Φ = -2.54942813249345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58307984} λ = 2.58307984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54942813249345))-π/2
    2×atan(0.07812633113885)-π/2
    2×0.0779679568949167-π/2
    0.155935913789833-1.57079632675     		φ = -1.41486041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58307984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.999573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41486041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.065530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119421 KachelY 118719 2.58307984 -1.41486041 147.999573 -81.065530
    Oben rechts KachelX + 1 119422 KachelY 118719 2.58312777 -1.41486041 148.002319 -81.065530
    Unten links KachelX 119421 KachelY + 1 118720 2.58307984 -1.41486786 147.999573 -81.065957
    Unten rechts KachelX + 1 119422 KachelY + 1 118720 2.58312777 -1.41486786 148.002319 -81.065957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41486041--1.41486786) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dl = 47.463950000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41486041--1.41486786) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dr = 47.463950000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58307984-2.58312777) × cos(-1.41486041) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155304728127484 × 6371000     		do = 47.4241670496356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58307984-2.58312777) × cos(-1.41486786) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155297368516921 × 6371000     		du = 47.4219197040141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41486041)-sin(-1.41486786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155304728127484-0.155297368516921)×R²
    abs(2.58312777-2.58307984)×7.35961056289036e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.35961056289036e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.35961056289036e-06×40589641000000     		ar = 2250.88495969055m²