Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119420 / 118683
↖ ↑ ↗
← S 81.050161°
E147.996826°		 ← 47.51 m → S 81.050161°
E147.999573°		 →
↑
47.53 m
↓
↑
47.53 m
↓
S 81.050589°
E147.996826°		 ← 47.51 m →
2 258 m²		 S 81.050589°
E147.999573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911106109619141 y=0.905483245849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911106109619141 × 217)
    floor (0.911106109619141 × 131072)
    floor (119420.5)     		tx = 119420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905483245849609 × 217)
    floor (0.905483245849609 × 131072)
    floor (118683.5)     		ty = 118683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119420 / 118683 ti = "17/119420/118683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119420/118683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119420 ÷ 217
    119420 ÷ 131072     		x = 0.911102294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118683 ÷ 217
    118683 ÷ 131072     		y = 0.905479431152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911102294921875 × 2 - 1) × π
    0.82220458984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58303190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905479431152344 × 2 - 1) × π
    -0.810958862304688 × 3.1415926535     		Φ = -2.54770240410712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58303190} λ = 2.58303190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54770240410712))-π/2
    2×atan(0.0782612723686814)-π/2
    2×0.0781020780713791-π/2
    0.156204156142758-1.57079632675     		φ = -1.41459217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58303190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.996826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41459217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.050161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119420 KachelY 118683 2.58303190 -1.41459217 147.996826 -81.050161
    Oben rechts KachelX + 1 119421 KachelY 118683 2.58307984 -1.41459217 147.999573 -81.050161
    Unten links KachelX 119420 KachelY + 1 118684 2.58303190 -1.41459963 147.996826 -81.050589
    Unten rechts KachelX + 1 119421 KachelY + 1 118684 2.58307984 -1.41459963 147.999573 -81.050589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41459217--1.41459963) × R
    7.46000000018121e-06 × 6371000     		dl = 47.5276600011545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41459217--1.41459963) × R
    7.46000000018121e-06 × 6371000     		dr = 47.5276600011545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58303190-2.58307984) × cos(-1.41459217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155569707876784 × 6371000     		do = 47.5149931498193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58303190-2.58307984) × cos(-1.41459963) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155562338698576 × 6371000     		du = 47.5127424131121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41459217)-sin(-1.41459963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155569707876784-0.155562338698576)×R²
    abs(2.58307984-2.58303190)×7.36917820728933e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.36917820728933e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.36917820728933e-06×40589641000000     		ar = 2258.2229532267m²