Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11942 / 20203
↖ ↑ ↗
← S 38.642618°
W 48.801269°		 ← 954.17 m → S 38.642618°
W 48.790283°		 →
↑
954.12 m
↓
↑
954.12 m
↓
S 38.651198°
W 48.801269°		 ← 954.05 m →
910 338 m²		 S 38.651198°
W 48.790283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364456176757812 y=0.616561889648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364456176757812 × 215)
    floor (0.364456176757812 × 32768)
    floor (11942.5)     		tx = 11942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616561889648438 × 215)
    floor (0.616561889648438 × 32768)
    floor (20203.5)     		ty = 20203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11942 / 20203 ti = "15/11942/20203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11942/20203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11942 ÷ 215
    11942 ÷ 32768     		x = 0.36444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20203 ÷ 215
    20203 ÷ 32768     		y = 0.616546630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.2711181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85174283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.23309326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.732284078595978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85174283} λ = -0.85174283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.732284078595978))-π/2
    2×atan(0.48080952818742)-π/2
    2×0.448177706377701-π/2
    0.896355412755402-1.57079632675     		φ = -0.67444091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85174283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.801269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67444091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.642618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11942 KachelY 20203 -0.85174283 -0.67444091 -48.801269 -38.642618
    Oben rechts KachelX + 1 11943 KachelY 20203 -0.85155108 -0.67444091 -48.790283 -38.642618
    Unten links KachelX 11942 KachelY + 1 20204 -0.85174283 -0.67459067 -48.801269 -38.651198
    Unten rechts KachelX + 1 11943 KachelY + 1 20204 -0.85155108 -0.67459067 -48.790283 -38.651198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67444091--0.67459067) × R
    0.000149759999999999 × 6371000     		dl = 954.120959999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67444091--0.67459067) × R
    0.000149759999999999 × 6371000     		dr = 954.120959999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85174283--0.85155108) × cos(-0.67444091) × R
    0.000191749999999935 × 0.781056202937733 × 6371000     		do = 954.168913964377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85174283--0.85155108) × cos(-0.67459067) × R
    0.000191749999999935 × 0.780962674939827 × 6371000     		du = 954.05465649116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67444091)-sin(-0.67459067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.781056202937733-0.780962674939827)×R²
    abs(-0.85155108--0.85174283)×9.35279979064063e-05×R²
    0.000191749999999935×9.35279979064063e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.35279979064063e-05×40589641000000     		ar = 910338.054169772m²