Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119419 / 118667
↖ ↑ ↗
← S 81.043322°
E147.994079°		 ← 47.55 m → S 81.043322°
E147.996826°		 →
↑
47.59 m
↓
↑
47.59 m
↓
S 81.043750°
E147.994079°		 ← 47.55 m →
2 263 m²		 S 81.043750°
E147.996826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911098480224609 y=0.905361175537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911098480224609 × 217)
    floor (0.911098480224609 × 131072)
    floor (119419.5)     		tx = 119419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905361175537109 × 217)
    floor (0.905361175537109 × 131072)
    floor (118667.5)     		ty = 118667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119419 / 118667 ti = "17/119419/118667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119419/118667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119419 ÷ 217
    119419 ÷ 131072     		x = 0.911094665527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118667 ÷ 217
    118667 ÷ 131072     		y = 0.905357360839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911094665527344 × 2 - 1) × π
    0.822189331054688 × 3.1415926535     		Λ = 2.58298396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905357360839844 × 2 - 1) × π
    -0.810714721679688 × 3.1415926535     		Φ = -2.5469354137132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58298396} λ = 2.58298396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5469354137132))-π/2
    2×atan(0.0783213210382368)-π/2
    2×0.0781617609133176-π/2
    0.156323521826635-1.57079632675     		φ = -1.41447280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58298396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.994079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41447280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.043322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119419 KachelY 118667 2.58298396 -1.41447280 147.994079 -81.043322
    Oben rechts KachelX + 1 119420 KachelY 118667 2.58303190 -1.41447280 147.996826 -81.043322
    Unten links KachelX 119419 KachelY + 1 118668 2.58298396 -1.41448027 147.994079 -81.043750
    Unten rechts KachelX + 1 119420 KachelY + 1 118668 2.58303190 -1.41448027 147.996826 -81.043750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41447280--1.41448027) × R
    7.47000000012044e-06 × 6371000     		dl = 47.5913700007673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41447280--1.41448027) × R
    7.47000000012044e-06 × 6371000     		dr = 47.5913700007673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58298396-2.58303190) × cos(-1.41447280) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155687623428434 × 6371000     		do = 47.5510075944397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58298396-2.58303190) × cos(-1.41448027) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155680244510736 × 6371000     		du = 47.5487538830414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41447280)-sin(-1.41448027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155687623428434-0.155680244510736)×R²
    abs(2.58303190-2.58298396)×7.37891769816978e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.37891769816978e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.37891769816978e-06×40589641000000     		ar = 2262.96396774206m²