Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119416 / 118727
↖ ↑ ↗
← S 81.068942°
E147.985840°		 ← 47.42 m → S 81.068942°
E147.988587°		 →
↑
47.40 m
↓
↑
47.40 m
↓
S 81.069368°
E147.985840°		 ← 47.41 m →
2 247 m²		 S 81.069368°
E147.988587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911075592041016 y=0.905818939208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911075592041016 × 217)
    floor (0.911075592041016 × 131072)
    floor (119416.5)     		tx = 119416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905818939208984 × 217)
    floor (0.905818939208984 × 131072)
    floor (118727.5)     		ty = 118727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119416 / 118727 ti = "17/119416/118727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119416/118727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119416 ÷ 217
    119416 ÷ 131072     		x = 0.91107177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118727 ÷ 217
    118727 ÷ 131072     		y = 0.905815124511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91107177734375 × 2 - 1) × π
    0.8221435546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58284015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905815124511719 × 2 - 1) × π
    -0.811630249023438 × 3.1415926535     		Φ = -2.54981162769041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58284015} λ = 2.58284015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54981162769041))-π/2
    2×atan(0.0780963758103315)-π/2
    2×0.077938183226968-π/2
    0.155876366453936-1.57079632675     		φ = -1.41491996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58284015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.985840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41491996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.068942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119416 KachelY 118727 2.58284015 -1.41491996 147.985840 -81.068942
    Oben rechts KachelX + 1 119417 KachelY 118727 2.58288809 -1.41491996 147.988587 -81.068942
    Unten links KachelX 119416 KachelY + 1 118728 2.58284015 -1.41492740 147.985840 -81.069368
    Unten rechts KachelX + 1 119417 KachelY + 1 118728 2.58288809 -1.41492740 147.988587 -81.069368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41491996--1.41492740) × R
    7.44000000008072e-06 × 6371000     		dl = 47.4002400005142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41491996--1.41492740) × R
    7.44000000008072e-06 × 6371000     		dr = 47.4002400005142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58284015-2.58288809) × cos(-1.41491996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155245900395454 × 6371000     		do = 47.4160940102167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58284015-2.58288809) × cos(-1.41492740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155238550594775 × 6371000     		du = 47.4138491919055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41491996)-sin(-1.41492740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155245900395454-0.155238550594775)×R²
    abs(2.58288809-2.58284015)×7.34980067870761e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.34980067870761e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.34980067870761e-06×40589641000000     		ar = 2247.4810335024m²