Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119415 / 118710
↖ ↑ ↗
← S 81.061691°
E147.983093°		 ← 47.45 m → S 81.061691°
E147.985840°		 →
↑
47.40 m
↓
↑
47.40 m
↓
S 81.062117°
E147.983093°		 ← 47.45 m →
2 249 m²		 S 81.062117°
E147.985840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911067962646484 y=0.905689239501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911067962646484 × 217)
    floor (0.911067962646484 × 131072)
    floor (119415.5)     		tx = 119415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905689239501953 × 217)
    floor (0.905689239501953 × 131072)
    floor (118710.5)     		ty = 118710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119415 / 118710 ti = "17/119415/118710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119415/118710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119415 ÷ 217
    119415 ÷ 131072     		x = 0.911064147949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118710 ÷ 217
    118710 ÷ 131072     		y = 0.905685424804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911064147949219 × 2 - 1) × π
    0.822128295898438 × 3.1415926535     		Λ = 2.58279221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905685424804688 × 2 - 1) × π
    -0.811370849609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54899670039687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58279221} λ = 2.58279221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54899670039687))-π/2
    2×atan(0.0781600446177069)-π/2
    2×0.0780014657566708-π/2
    0.156002931513342-1.57079632675     		φ = -1.41479340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58279221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.983093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41479340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.061691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119415 KachelY 118710 2.58279221 -1.41479340 147.983093 -81.061691
    Oben rechts KachelX + 1 119416 KachelY 118710 2.58284015 -1.41479340 147.985840 -81.061691
    Unten links KachelX 119415 KachelY + 1 118711 2.58279221 -1.41480084 147.983093 -81.062117
    Unten rechts KachelX + 1 119416 KachelY + 1 118711 2.58284015 -1.41480084 147.985840 -81.062117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41479340--1.41480084) × R
    7.44000000008072e-06 × 6371000     		dl = 47.4002400005142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41479340--1.41480084) × R
    7.44000000008072e-06 × 6371000     		dr = 47.4002400005142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58279221-2.58284015) × cos(-1.41479340) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155370924720362 × 6371000     		do = 47.4542796571697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58279221-2.58284015) × cos(-1.41480084) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155363575065919 × 6371000     		du = 47.4520348835228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41479340)-sin(-1.41480084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155370924720362-0.155363575065919)×R²
    abs(2.58284015-2.58279221)×7.34965444276758e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.34965444276758e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.34965444276758e-06×40589641000000     		ar = 2249.2910435411m²