Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119414 / 118732
↖ ↑ ↗
← S 81.071074°
E147.980347°		 ← 47.39 m → S 81.071074°
E147.983093°		 →
↑
47.40 m
↓
↑
47.40 m
↓
S 81.071500°
E147.980347°		 ← 47.39 m →
2 246 m²		 S 81.071500°
E147.983093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911060333251953 y=0.905857086181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911060333251953 × 217)
    floor (0.911060333251953 × 131072)
    floor (119414.5)     		tx = 119414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905857086181641 × 217)
    floor (0.905857086181641 × 131072)
    floor (118732.5)     		ty = 118732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119414 / 118732 ti = "17/119414/118732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119414/118732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119414 ÷ 217
    119414 ÷ 131072     		x = 0.911056518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118732 ÷ 217
    118732 ÷ 131072     		y = 0.905853271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911056518554688 × 2 - 1) × π
    0.822113037109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58274428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905853271484375 × 2 - 1) × π
    -0.81170654296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.55005131218851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58274428} λ = 2.58274428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55005131218851))-π/2
    2×atan(0.0780776595627788)-π/2
    2×0.077919580411614-π/2
    0.155839160823228-1.57079632675     		φ = -1.41495717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58274428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.980347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41495717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.071074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119414 KachelY 118732 2.58274428 -1.41495717 147.980347 -81.071074
    Oben rechts KachelX + 1 119415 KachelY 118732 2.58279221 -1.41495717 147.983093 -81.071074
    Unten links KachelX 119414 KachelY + 1 118733 2.58274428 -1.41496461 147.980347 -81.071500
    Unten rechts KachelX + 1 119415 KachelY + 1 118733 2.58279221 -1.41496461 147.983093 -81.071500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41495717--1.41496461) × R
    7.43999999985867e-06 × 6371000     		dl = 47.4002399990996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41495717--1.41496461) × R
    7.43999999985867e-06 × 6371000     		dr = 47.4002399990996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58274428-2.58279221) × cos(-1.41495717) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155209141427318 × 6371000     		do = 47.394978500832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58274428-2.58279221) × cos(-1.41496461) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155201791583667 × 6371000     		du = 47.3927341376545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41495717)-sin(-1.41496461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155209141427318-0.155201791583667)×R²
    abs(2.58279221-2.58274428)×7.34984365102775e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.34984365102775e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.34984365102775e-06×40589641000000     		ar = 2246.48016382749m²