Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119414 / 118666
↖ ↑ ↗
← S 81.042894°
E147.980347°		 ← 47.54 m → S 81.042894°
E147.983093°		 →
↑
47.53 m
↓
↑
47.53 m
↓
S 81.043322°
E147.980347°		 ← 47.54 m →
2 260 m²		 S 81.043322°
E147.983093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911060333251953 y=0.905353546142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911060333251953 × 217)
    floor (0.911060333251953 × 131072)
    floor (119414.5)     		tx = 119414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905353546142578 × 217)
    floor (0.905353546142578 × 131072)
    floor (118666.5)     		ty = 118666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119414 / 118666 ti = "17/119414/118666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119414/118666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119414 ÷ 217
    119414 ÷ 131072     		x = 0.911056518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118666 ÷ 217
    118666 ÷ 131072     		y = 0.905349731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911056518554688 × 2 - 1) × π
    0.822113037109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58274428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905349731445312 × 2 - 1) × π
    -0.810699462890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.54688747681358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58274428} λ = 2.58274428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54688747681358))-π/2
    2×atan(0.0783250756095321)-π/2
    2×0.0781654925925394-π/2
    0.156330985185079-1.57079632675     		φ = -1.41446534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58274428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.980347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41446534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.042894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119414 KachelY 118666 2.58274428 -1.41446534 147.980347 -81.042894
    Oben rechts KachelX + 1 119415 KachelY 118666 2.58279221 -1.41446534 147.983093 -81.042894
    Unten links KachelX 119414 KachelY + 1 118667 2.58274428 -1.41447280 147.980347 -81.043322
    Unten rechts KachelX + 1 119415 KachelY + 1 118667 2.58279221 -1.41447280 147.983093 -81.043322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41446534--1.41447280) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dl = 47.5276599997398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41446534--1.41447280) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dr = 47.5276599997398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58274428-2.58279221) × cos(-1.41446534) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155694992459393 × 6371000     		do = 47.5433389582641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58274428-2.58279221) × cos(-1.41447280) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155687623428434 × 6371000     		du = 47.5410887360114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41446534)-sin(-1.41447280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155694992459393-0.155687623428434)×R²
    abs(2.58279221-2.58274428)×7.36903095874264e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.36903095874264e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.36903095874264e-06×40589641000000     		ar = 2259.5701753092m²